Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para decidirmos se a função é inversível. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ter uma inversa. Vamos utilizar conceitos de funções inversas e verificar se essa função passa no teste da inversibilidade. Se necessário, podemos restringir o domínio e o contra-domínio para garantir que a função seja inversível. No final, vamos encontrar a função inversa, se existir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Uma função possui uma inversa se, para cada no contra-domínio de , existe um único tal que , e vice-versa. Isso quer dizer que a função deve ser biunívoca: injetora (cada elemento do domínio é mapeado para um único elemento no contra-domínio) e sobrejetora (todo elemento do contra-domínio é atingido pela função).

Passo 3

Vamos analisar a função . Essa é uma função afim, que tem a forma geral , onde e são constantes. As funções afins são sempre lineares e, na maioria dos casos, são invertíveis porque são biunívocas. Contudo, é bom verificar se ela realmente atende aos critérios.

Passo 4

Para confirmar se é inversível, vamos verificar se ela é injetora e sobrejetora.
Injetividade: Suponha que . Então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por -3:
Como , a função é injetora.
Sobrejetividade: Para todo no contra-domínio, existe um tal que . Como é uma função afim definida para todos os reais, cobrimos todo o conjunto dos reais, então a função é sobrejetora.
Portanto, é biunívoca e, consequentemente, inversível sem necessidade de restringir o domínio ou o contra-domínio.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função inversa . Para isso, seguimos os passos:
  1. Escrevemos a função original substituindo por :
  1. Resolvemos essa equação para em termos de :
  1. Troca-se por para expressar a inversa:

Resposta

A função é inversível, e sua inversa é .

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j)
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