Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para decidirmos se a função
é inversível. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ter uma inversa. Vamos utilizar conceitos de funções inversas e verificar se essa função passa no teste da inversibilidade. Se necessário, podemos restringir o domínio e o contra-domínio para garantir que a função seja inversível. No final, vamos encontrar a função inversa, se existir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Uma função
possui uma inversa
se, para cada
no contra-domínio de
, existe um único
tal que
, e vice-versa. Isso quer dizer que a função deve ser biunívoca: injetora (cada elemento do domínio é mapeado para um único elemento no contra-domínio) e sobrejetora (todo elemento do contra-domínio é atingido pela função).
Passo 3
Vamos analisar a função
. Essa é uma função afim, que tem a forma geral
, onde
e
são constantes. As funções afins são sempre lineares e, na maioria dos casos, são invertíveis porque são biunívocas. Contudo, é bom verificar se ela realmente atende aos critérios.
Passo 4
Para confirmar se
é inversível, vamos verificar se ela é injetora e sobrejetora.
Injetividade: Suponha que
. Então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por -3:
Como
, a função é injetora.
Sobrejetividade: Para todo
no contra-domínio, existe um
tal que
. Como
é uma função afim definida para todos os reais, cobrimos todo o conjunto dos reais, então a função é sobrejetora.
Portanto,
é biunívoca e, consequentemente, inversível sem necessidade de restringir o domínio ou o contra-domínio.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função inversa
. Para isso, seguimos os passos:
- Escrevemos a função original substituindo
por :
- Resolvemos essa equação para
em termos de :
- Troca-se
por para expressar a inversa:
Resposta
A função
é inversível, e sua inversa é
.