Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos decidir se ela é inversível. Para isso, vamos verificar se a função é injetora e sobrejetora. Se não for, vamos restringir o domínio e o contradomínio para torná-la inversível. Por fim, se for inversível, vamos encontrar a função inversa.
Passo 2
Para uma função ser inversível, ela precisa ser bijetora, ou seja, ser injetora (cada valor de
tem no máximo um
) e sobrejetora (cada valor de
tem pelo menos um
). Vamos verificar se
atende a esses critérios.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Suponha que
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo:
Simplificando:
Como só temos
, a função é injetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, consideramos a imagem da função. Observamos que o denominador
não pode ser zero, ou seja,
. Além disso, a função não pode assumir todos os valores reais, já que
se aproxima de infinito quando
se aproxima de 2. Portanto, precisamos restringir o domínio para garantir que a função seja sobrejetora.
Passo 5
Vamos restringir o domínio da função para
. Com esse domínio, a função será contínua e cada valor de
terá exatamente um
, garantindo que a função seja bijetora e, portanto, inversível.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função inversa. Começamos substituindo
por
:
Vamos resolver para
:
Distribuindo:
Rearranjando os termos:
Isolando
:
Então, a função inversa é:
Resposta
A função
é inversível se restringirmos seu domínio para
. A função inversa é
.