Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
d) h(x) = x / (2 - x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos decidir se ela é inversível. Para isso, vamos verificar se a função é injetora e sobrejetora. Se não for, vamos restringir o domínio e o contradomínio para torná-la inversível. Por fim, se for inversível, vamos encontrar a função inversa.

Passo 2

Para uma função ser inversível, ela precisa ser bijetora, ou seja, ser injetora (cada valor de tem no máximo um ) e sobrejetora (cada valor de tem pelo menos um ). Vamos verificar se atende a esses critérios.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Suponha que :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo:
Simplificando:
Como só temos , a função é injetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, consideramos a imagem da função. Observamos que o denominador não pode ser zero, ou seja, . Além disso, a função não pode assumir todos os valores reais, já que se aproxima de infinito quando se aproxima de 2. Portanto, precisamos restringir o domínio para garantir que a função seja sobrejetora.

Passo 5

Vamos restringir o domínio da função para . Com esse domínio, a função será contínua e cada valor de terá exatamente um , garantindo que a função seja bijetora e, portanto, inversível.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função inversa. Começamos substituindo por :
Vamos resolver para :
Distribuindo:
Rearranjando os termos:
Isolando :
Então, a função inversa é:

Resposta

A função é inversível se restringirmos seu domínio para . A função inversa é .

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