Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a função
tem uma função inversa. Isso faz parte do conteúdo de funções inversas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e, se necessário, restringir o domínio e o contradomínio para que isso aconteça. No final, vamos encontrar a expressão da função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, a função inversa de
, chamada
, é aquela que “desfaz” o que
faz. Ou seja, se
leva um número
para
, então
leva
de volta para
. Para que uma função tenha inversa, ela precisa ser injetora (cada saída corresponde a uma única entrada) e sobrejetora (cobrindo todo o conjunto de saída possível).
Passo 3
Vamos analisar a função
. Essa é uma função do primeiro grau, também conhecida como função linear. Ela tem uma inclinação constante e não tem restrições no domínio, ou seja, podemos usar qualquer número real para
.
Passo 4
Para saber se
é injetora, vamos ver se valores diferentes de
resultam em valores diferentes de
. Se assumirmos que
, então:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Isso mostra que
é injetora, porque não há dois valores diferentes de
que dão o mesmo
.
Passo 5
Como
é injetora e tem domínio e contradomínio todos os números reais (
), ela também é sobrejetora. Isso significa que para qualquer valor real que escolhermos para
, sempre existe um
que produz esse valor através de
.
Passo 6
Como a função
é injetora e sobrejetora no conjunto dos números reais, ela é invertível sem precisar restringir o domínio ou o contradomínio.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a função inversa
. Para isso, vamos resolver a equação
para
:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Então, a função inversa é:
Podemos reescrever substituindo
por
, já que é só um nome de variável:
Resposta
A função
é invertível em todo o seu domínio (
) e sua função inversa é
.
Exercícios relacionados
Determine os domínios das funções abaixo.
k)
k)
Sabendo que:
é a equação canônica de uma elipse;
é a equação canônica de uma hipérbole; e que
é a equação canônica de uma parábola;
Dada a função , o seu gráfico está contido
Dada a função
Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
f)
f)
A respeito da função
é correto afirmar.
Escolha uma opção:
d. O gráfico de pode ser obtido a partir do gráfico de
deslocandose o gráfico de
uma unidade para a direita e duas unidades para cima.
Escolha uma opção:
d. O gráfico de