Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a função tem uma função inversa. Isso faz parte do conteúdo de funções inversas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e, se necessário, restringir o domínio e o contradomínio para que isso aconteça. No final, vamos encontrar a expressão da função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, a função inversa de , chamada , é aquela que “desfaz” o que faz. Ou seja, se leva um número para , então leva de volta para . Para que uma função tenha inversa, ela precisa ser injetora (cada saída corresponde a uma única entrada) e sobrejetora (cobrindo todo o conjunto de saída possível).

Passo 3

Vamos analisar a função . Essa é uma função do primeiro grau, também conhecida como função linear. Ela tem uma inclinação constante e não tem restrições no domínio, ou seja, podemos usar qualquer número real para .

Passo 4

Para saber se é injetora, vamos ver se valores diferentes de resultam em valores diferentes de . Se assumirmos que , então:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Isso mostra que é injetora, porque não há dois valores diferentes de que dão o mesmo .

Passo 5

Como é injetora e tem domínio e contradomínio todos os números reais ( ), ela também é sobrejetora. Isso significa que para qualquer valor real que escolhermos para , sempre existe um que produz esse valor através de .

Passo 6

Como a função é injetora e sobrejetora no conjunto dos números reais, ela é invertível sem precisar restringir o domínio ou o contradomínio.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função inversa . Para isso, vamos resolver a equação para :
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Então, a função inversa é:
Podemos reescrever substituindo por , já que é só um nome de variável:

Resposta

A função é invertível em todo o seu domínio ( ) e sua função inversa é .

Exercícios relacionados

Determine os domínios das funções abaixo.
k)
Sabendo que: é a equação canônica de uma elipse; é a equação canônica de uma hipérbole; e que é a equação canônica de uma parábola;
Dada a função , o seu gráfico está contido
Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
f)
A respeito da função
é correto afirmar.
Escolha uma opção:
d. O gráfico de pode ser obtido a partir do gráfico de deslocandose o gráfico de uma unidade para a direita e duas unidades para cima.