Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para decidir se a função é inversível. A gente vai usar conceitos de funções inversas e propriedades de funções injetoras (que não se repetem). Vamos ver se precisamos limitar o domínio e o contradomínio para conseguir achar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser inversível. Uma função tem uma inversa se para cada valor de saída existe apenas um valor de entrada correspondente. Isso acontece quando a função é injetora, ou seja, não repete valores de saída para entradas diferentes.

Passo 3

Olha só a função . Se a gente olha o gráfico, vê que ela tem duas partes: uma no primeiro e terceiro quadrantes. Isso significa que para cada positivo, temos um positivo, e para cada negativo, temos um negativo. Porém, se a gente deixar o domínio inteiro (todos os reais exceto zero), a função não é injetora porque valores positivos e negativos se misturam.

Passo 4

Para tornar inversível, precisamos restringir o domínio. Podemos escolher:
  • Domínio positivo:
  • Domínio negativo:
Vamos escolher para facilitar. Assim, a função fica injetora e podemos encontrar a inversa.

Passo 5

Agora, para achar a inversa, vamos trocar e na equação e resolver para :
Multiplicando os dois lados por :
Agora, dividindo por :
Então, a inversa é .

Resposta

A função é inversível quando restringimos o domínio para . A inversa é .

Exercícios relacionados

Determine os domínios das funções abaixo.
n)
Determine os domínios das funções abaixo.
m)
Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
h)
A respeito da função
é correto afirmar.
Escolha uma opção:
b. O gráfico de pode ser obtido a partir do gráfico de deslocandose o gráfico de duas unidades para a direita e uma unidade para cima.