Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para decidir se a função
é inversível. A gente vai usar conceitos de funções inversas e propriedades de funções injetoras (que não se repetem). Vamos ver se precisamos limitar o domínio e o contradomínio para conseguir achar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser inversível. Uma função tem uma inversa se para cada valor de saída existe apenas um valor de entrada correspondente. Isso acontece quando a função é injetora, ou seja, não repete valores de saída para entradas diferentes.
Passo 3
Olha só a função
. Se a gente olha o gráfico, vê que ela tem duas partes: uma no primeiro e terceiro quadrantes. Isso significa que para cada
positivo, temos um
positivo, e para cada
negativo, temos um
negativo. Porém, se a gente deixar o domínio inteiro (todos os reais exceto zero), a função não é injetora porque valores positivos e negativos se misturam.
Passo 4
Para tornar
inversível, precisamos restringir o domínio. Podemos escolher:
- Domínio positivo:
- Domínio negativo:
Vamos escolher
para facilitar. Assim, a função fica injetora e podemos encontrar a inversa.
Passo 5
Agora, para achar a inversa, vamos trocar
e
na equação
e resolver para
:
Multiplicando os dois lados por
:
Agora, dividindo por
:
Então, a inversa é
.
Resposta
A função
é inversível quando restringimos o domínio para
. A inversa é
.
Exercícios relacionados
Determine os domínios das funções abaixo.
n)
n)
Determine os domínios das funções abaixo.
m)
m)
Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
h)
h)
A respeito da função
é correto afirmar.
Escolha uma opção:
b. O gráfico de pode ser obtido a partir do gráfico de
deslocandose o gráfico de
duas unidades para a direita e uma unidade para cima.
Escolha uma opção:
b. O gráfico de