Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
h)
h)
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a função
. O que a gente precisa fazer aqui é verificar se essa função é inversível. Isso significa que a gente precisa garantir que cada valor de saída tenha apenas um valor de entrada correspondente. Para isso, vamos restringir o domínio (os valores de
que a função pode aceitar) e o contradomínio (os valores que a função pode produzir) se precisar. No final, vamos encontrar a função inversa, se ela existir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função logarítmica. A função
está definida apenas para
porque não dá para tirar log de zero ou de número negativo. No nosso caso, temos
, então
, o que significa que
. Então, o domínio da nossa função
é
.
Passo 3
Para ser inversível, a função precisa ser bijetora, ou seja, injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). A função logarítmica é estritamente crescente, o que significa que se
, então
. Isso garante que a função é injetora.
Passo 4
Agora, vamos determinar o contradomínio da função. Como
pode assumir qualquer valor real quando
, o contradomínio é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.
Passo 5
Com isso, a função
é inversível no domínio
e contradomínio
. Agora vamos encontrar a função inversa.
Passo 6
Para encontrar a inversa, vamos trocar
por
e resolver para
:
Agora, vamos reescrever essa equação na forma exponencial:
Então, isolando
:
Portanto, a função inversa é:
Resposta
A função
é inversível no domínio
e sua inversa é
.
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Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
c)
c)
Determine os domínios das funções abaixo.
n)
n)
A respeito da função
é correto afirmar.
Escolha uma opção:
b. O gráfico de pode ser obtido a partir do gráfico de
deslocandose o gráfico de
duas unidades para a direita e uma unidade para cima.
Escolha uma opção:
b. O gráfico de
Seja
e seja
. Qual(is) dos seguintes pares não representa uma função.
Escolha uma ou mais:
d.
Escolha uma ou mais:
d.