Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
h)

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a função . O que a gente precisa fazer aqui é verificar se essa função é inversível. Isso significa que a gente precisa garantir que cada valor de saída tenha apenas um valor de entrada correspondente. Para isso, vamos restringir o domínio (os valores de que a função pode aceitar) e o contradomínio (os valores que a função pode produzir) se precisar. No final, vamos encontrar a função inversa, se ela existir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função logarítmica. A função está definida apenas para porque não dá para tirar log de zero ou de número negativo. No nosso caso, temos , então , o que significa que . Então, o domínio da nossa função é .

Passo 3

Para ser inversível, a função precisa ser bijetora, ou seja, injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). A função logarítmica é estritamente crescente, o que significa que se , então . Isso garante que a função é injetora.

Passo 4

Agora, vamos determinar o contradomínio da função. Como pode assumir qualquer valor real quando , o contradomínio é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

Passo 5

Com isso, a função é inversível no domínio e contradomínio . Agora vamos encontrar a função inversa.

Passo 6

Para encontrar a inversa, vamos trocar por e resolver para :
Agora, vamos reescrever essa equação na forma exponencial:
Então, isolando :
Portanto, a função inversa é:

Resposta

A função é inversível no domínio e sua inversa é .

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Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
c)
Determine os domínios das funções abaixo.
n)
A respeito da função
é correto afirmar.
Escolha uma opção:
b. O gráfico de pode ser obtido a partir do gráfico de deslocandose o gráfico de duas unidades para a direita e uma unidade para cima.
Seja e seja . Qual(is) dos seguintes pares não representa uma função.
Escolha uma ou mais:
d.