Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
g) g(x) = e^(2 x) + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a função tem inversa. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de funções inversas e analisar se a é injetora (ou seja, se cada valor de saída corresponde a apenas um valor de entrada). Se não for, talvez a gente precise restringir o domínio dela para que isso aconteça. No final, se der certo, vamos escrever a expressão da inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função tem inversa se e somente se ela for bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. No nosso caso, vamos focar na injetividade. A função exponencial é sempre crescente, o que significa que ela nunca diminui. Quando a gente adiciona 1, a função também continua sendo crescente.

Passo 3

Como é uma função crescente e, portanto, injetora em todo o seu domínio (que é todos os números reais), ela é invertível sem precisar restringir o domínio ou o contradomínio. Agora, vamos encontrar a inversa dessa função.

Passo 4

Para achar a inversa, vamos trocar por :
Agora, vamos resolver essa equação para :
  1. Subtraímos 1 de ambos os lados:
  1. Aplicamos o logaritmo natural para eliminar o expoente:
  1. Dividimos ambos os lados por 2:

Passo 5

Pronto! A expressão para a inversa da função é:

Resposta

Sim, a função é inversível. A inversa dela é:

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