Decida se as funções são inversíveis, restringindo domínios e contra-domínios, se necessário, e explicite suas inversas.
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a função
tem inversa. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de funções inversas e analisar se a
é injetora (ou seja, se cada valor de saída corresponde a apenas um valor de entrada). Se não for, talvez a gente precise restringir o domínio dela para que isso aconteça. No final, se der certo, vamos escrever a expressão da inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função tem inversa se e somente se ela for bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. No nosso caso, vamos focar na injetividade. A função exponencial
é sempre crescente, o que significa que ela nunca diminui. Quando a gente adiciona 1, a função
também continua sendo crescente.
Passo 3
Como
é uma função crescente e, portanto, injetora em todo o seu domínio (que é todos os números reais), ela é invertível sem precisar restringir o domínio ou o contradomínio. Agora, vamos encontrar a inversa dessa função.
Passo 4
Para achar a inversa, vamos trocar
por
:
Agora, vamos resolver essa equação para
:
- Subtraímos 1 de ambos os lados:
- Aplicamos o logaritmo natural para eliminar o expoente:
- Dividimos ambos os lados por 2:
Passo 5
Pronto! A expressão para a inversa da função
é:
Resposta
Sim, a função
é inversível. A inversa dela é: