Decida se a integral imprópria abaixo converge e em caso afirmativo, calcule-a:
integral0^+infty e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que decidir se a integral converge e, se sim, calcular ela. Isso envolve integrais impróprias, que são integrais onde a área sob a curva se estende até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Quando o intervalo de integração vai até o infinito, a gente usa limites para definir a integral. Então, em vez de calcular direto até , a gente calcula até um número grande e depois faz ir para o infinito.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral0^A e^-x d x . Começamos substituindo [ -e^-x ]0^A = -e^-A - (-e^0) = -e^-A + 1 por :
A antiderivada de é . Então, aplicamos o teorema fundamental do cálculo:

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando limA to +infty (-e^-A + 1) = 0 + 1 = 1 tende ao infinito. Sabemos que fica cada vez menor conforme aumenta, chegando perto de 0:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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