Decida se a integral imprópria abaixo converge e em caso afirmativo, calcule-a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que decidir se a integral
converge e, se sim, calcular ela. Isso envolve integrais impróprias, que são integrais onde a área sob a curva se estende até o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Quando o intervalo de integração vai até o infinito, a gente usa limites para definir a integral. Então, em vez de calcular direto até
, a gente calcula até um número grande
e depois faz
ir para o infinito.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
. Começamos substituindo
por
:
A antiderivada de
é
. Então, aplicamos o teorema fundamental do cálculo:
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece quando
tende ao infinito. Sabemos que
fica cada vez menor conforme
aumenta, chegando perto de 0:
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.