Determine z em C tal que:
(b) i z + 3 z_bar = 5 - 2 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos! A gente precisa encontrar um número complexo que satisfaz a equação . Para isso, vamos usar algumas propriedades dos números complexos, como a forma cartesiana e o conceito de conjugado.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo na forma padrão: , onde e são números reais, e é a unidade imaginária ( ). O conjugado de é .

Passo 3

Agora, substituímos e na equação original:

Passo 4

Vamos expandir as expressões:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos separar as partes reais e imaginárias da equação:
  • Parte real:
  • Parte imaginária:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar em função de :

Passo 7

Substituímos na segunda equação:

Passo 8

Com o valor de encontrado, substituímos de volta na expressão para :

Resposta

O número complexo que satisfaz a equação é:

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