Decida (justificando) se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Só serão aceitas respostas com a devida justificativa.
( ) A função
é diferenciável em
( ) A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a função
é diferenciável no ponto
. Vamos trabalhar com cálculo multivariável, focando na diferenciabilidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, para verificar se a função é diferenciável em
, precisamos lembrar que diferenciabilidade implica em continuidade nesse ponto. Ou seja, se a função não for contínua em
, ela definitivamente não será diferenciável ali. Então, nosso primeiro passo é verificar a continuidade da função em
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade de
em
. Isso significa que precisamos analisar o limite de
quando
se aproxima de
. Se esse limite existir e for igual a
, então a função é contínua em
.
Calculemos o limite:
Vamos simplificar o numerador usando a expansão de
em série de Taylor em torno de
:
Então,
Substituindo de volta no limite:
Agora, para simplificar, vamos analisar diferentes caminhos de aproximação:
- Caminho
:
Substituindo
:
Esse resultado depende do valor de
, ou seja, do caminho escolhido. Como o limite varia conforme o caminho, o limite geral não existe.
Passo 4
Já que o limite não existe, concluímos que a função
não é contínua em
. E como a existência da continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, a função não pode ser diferenciável nesse ponto.
Resposta
A afirmação é falsa. A função
não é diferenciável em
porque o limite
não existe, o que implica que a função não é contínua nesse ponto.
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Desenvolva os seguites produtos notáveis:
(e)
(e)
Decida (justificando) se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Só serão aceitas respostas com a devida justificativa.
( ) existe uma função tal que
( ) existe uma função
Fatore ao máximo as expressōes:
(d)
(d)
Seja
, uma função dada implicitamente pela equação
Determine uma equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função no ponto
(supondo que esse ponto esteja no gráfico de
).