Decida (justificando) se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Só serão aceitas respostas com a devida justificativa.
( ) A função
é diferenciável em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a função
é diferenciável no ponto . Vamos trabalhar com cálculo multivariável, focando na diferenciabilidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, para verificar se a função é diferenciável em , precisamos lembrar que diferenciabilidade implica em continuidade nesse ponto. Ou seja, se a função não for contínua em , ela definitivamente não será diferenciável ali. Então, nosso primeiro passo é verificar a continuidade da função em .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de em . Isso significa que precisamos analisar o limite de quando se aproxima de . Se esse limite existir e for igual a , então a função é contínua em .
Calculemos o limite:
Vamos simplificar o numerador usando a expansão de em série de Taylor em torno de :
Então,
Substituindo de volta no limite:
Agora, para simplificar, vamos analisar diferentes caminhos de aproximação:
  1. Caminho :
Substituindo :
Esse resultado depende do valor de , ou seja, do caminho escolhido. Como o limite varia conforme o caminho, o limite geral não existe.

Passo 4

Já que o limite não existe, concluímos que a função não é contínua em . E como a existência da continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, a função não pode ser diferenciável nesse ponto.

Resposta

A afirmação é falsa. A função não é diferenciável em porque o limite não existe, o que implica que a função não é contínua nesse ponto.

Exercícios relacionados

Desenvolva os seguites produtos notáveis:
(e)
Decida (justificando) se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Só serão aceitas respostas com a devida justificativa.
( ) existe uma função tal que
Fatore ao máximo as expressōes:
(d)
Seja , uma função dada implicitamente pela equação
Determine uma equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função no ponto (supondo que esse ponto esteja no gráfico de ).