Decida (justificando) se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Só serão aceitas respostas com a devida justificativa.
( ) A função
f(x, y) = { (e^(2x) - (y + 1)) / (x + y), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }
é diferenciável em (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a função
é diferenciável no ponto (0,0). Vamos trabalhar com cálculo multivariável, focando na diferenciabilidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, para verificar se a função é diferenciável em (0,0), precisamos lembrar que diferenciabilidade implica em continuidade nesse ponto. Ou seja, se a função não for contínua em (0,0), ela definitivamente não será diferenciável ali. Então, nosso primeiro passo é verificar a continuidade da função em (0,0).

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de f em (0,0). Isso significa que precisamos analisar o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0). Se esse limite existir e for igual a , então a função é contínua em (0,0).
Calculemos o limite:
Vamos simplificar o numerador usando a expansão de em série de Taylor em torno de x = 0:
Então,
Substituindo de volta no limite:
Agora, para simplificar, vamos analisar diferentes caminhos de aproximação:
  1. Caminho :
Substituindo :
Esse resultado depende do valor de k, ou seja, do caminho escolhido. Como o limite varia conforme o caminho, o limite geral não existe.

Passo 4

Já que o limite não existe, concluímos que a função f(x, y) não é contínua em (0,0). E como a existência da continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, a função não pode ser diferenciável nesse ponto.

Resposta

A afirmação é falsa. A função f(x, y) não é diferenciável em (0,0) porque o limite não existe, o que implica que a função não é contínua nesse ponto.

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