Seja , uma função dada implicitamente pela equação
Determine uma equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função no ponto (supondo que esse ponto esteja no gráfico de ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida implicitamente pela equação:
O que a gente precisa fazer é encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está no gráfico da função. Substituindo , e na equação dada:
Então, o ponto está na curva, beleza!
Passo 3
Agora, para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Como a função está definida implicitamente, vamos usar a derivada implícita.
Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :
Isso dá:
Mas de forma mais simples, usando a notação direta:
Resolvendo para :
No ponto :
Passo 4
Fazendo o mesmo para a derivada parcial em relação a :
Isso resulta em:
Resolvendo para :
No ponto :
Passo 5
Agora que temos e no ponto de interesse, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula do plano tangente é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado por . Então, temos:
A reta normal passa pelo ponto e tem a direção do vetor normal. A equação paramétrica da reta é:
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro. Então:
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: