Seja z = f(x, y), (x, y) em D, uma função dada implicitamente pela equação
e^(3 x + 2 y + z) + x y z + 1 = 0
Determine uma equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função no ponto 1, -2, 1 (supondo que esse ponto esteja no gráfico de f ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida implicitamente pela equação:
O que a gente precisa fazer é encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está no gráfico da função. Substituindo , e na equação dada:
Então, o ponto está na curva, beleza!

Passo 3

Agora, para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Como a função está definida implicitamente, vamos usar a derivada implícita.
Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :
Isso dá:
Mas de forma mais simples, usando a notação direta:
Resolvendo para :
No ponto :

Passo 4

Fazendo o mesmo para a derivada parcial em relação a :
Isso resulta em:
Resolvendo para :
No ponto :

Passo 5

Agora que temos e no ponto de interesse, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula do plano tangente é:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado por . Então, temos:
A reta normal passa pelo ponto e tem a direção do vetor normal. A equação paramétrica da reta é:
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro. Então:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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