Seja
, uma função dada implicitamente pela equação
Determine uma equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função no ponto
(supondo que esse ponto esteja no gráfico de
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida implicitamente pela equação:
O que a gente precisa fazer é encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
realmente está no gráfico da função. Substituindo
,
e
na equação dada:
Então, o ponto está na curva, beleza!
Passo 3
Agora, para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Como a função está definida implicitamente, vamos usar a derivada implícita.
Diferenciando ambos os lados da equação em relação a
:
Isso dá:
Mas de forma mais simples, usando a notação direta:
Resolvendo para
:
No ponto
:
Passo 4
Fazendo o mesmo para a derivada parcial em relação a
:
Isso resulta em:
Resolvendo para
:
No ponto
:
Passo 5
Agora que temos
e
no ponto de interesse, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula do plano tangente é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado por
. Então, temos:
A reta normal passa pelo ponto
e tem a direção do vetor normal. A equação paramétrica da reta é:
Onde
são as componentes do vetor normal e
é o parâmetro. Então:
Resposta
A equação do plano tangente é
e a equação paramétrica da reta normal é: