Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes; quando ela for convergente, encontre a soma da série.

Passo 1

Resumo da Questão e Conteúdo:
Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos encontrar a soma da série. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Entendendo a Série:
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
Observamos que é uma progressão geométrica onde a razão é , que é menor que 1. À medida que aumenta, tende a 0.

Passo 3

Aplicando o Teste da Sequência:
Um teste básico para séries é verificar o limite do termo geral quando tende ao infinito.
Calculamos:
Como quando , temos:

Passo 4

Conclusão pelo Teste da Divergência:
O Teste da Divergência nos diz que se o limite do termo geral não for zero, ou seja, se
então a série diverge.
No nosso caso, vimos que:

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Decida se a seguinte sequência é convergente ou divergente: . E se o primeiro termo fosse ?
Determine de modo que
Obtenha o limite da sequência . Leia a sugestão do item 10).
A sequência converge? Em caso afirmativo, qual é o seu limite.