Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes; quando ela for convergente, encontre a soma da série.
Passo 1
Resumo da Questão e Conteúdo:
Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos encontrar a soma da série. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Entendendo a Série:
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
Observamos que
é uma progressão geométrica onde a razão é
, que é menor que 1. À medida que
aumenta,
tende a 0.
Passo 3
Aplicando o Teste da Sequência:
Um teste básico para séries é verificar o limite do termo geral quando
tende ao infinito.
Calculamos:
Como
quando
, temos:
Passo 4
Conclusão pelo Teste da Divergência:
O Teste da Divergência nos diz que se o limite do termo geral
não for zero, ou seja, se
então a série
diverge.
No nosso caso, vimos que:
Resposta
A série diverge.
Exercícios relacionados
Decida se a seguinte sequência é convergente ou divergente:
. E se o primeiro termo fosse
?
Determine
de modo que
Obtenha o limite da sequência
. Leia a sugestão do item 10).
A sequência converge? Em caso afirmativo, qual é o seu limite.
A sequência