Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes; quando ela for convergente, encontre a soma da série.
sumn=1^infty 11+(2 / 3)^n

Passo 1

Resumo da Questão e Conteúdo:
Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar se a série
sumn=1^infty 11+(23)^n
é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos encontrar a soma da série. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Entendendo a Série:
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
an = 11+(23)^n
Observamos que é uma progressão geométrica onde a razão é , que é menor que 1. À medida que aumenta, tende a 0.

Passo 3

Aplicando o Teste da Sequência:
Um teste básico para séries é verificar o limite do termo geral quando limn to infty an = limn to infty 11+(23)^n tende ao infinito.
Calculamos:
limn to infty an = 11+0 = 1
Como quando , temos:

Passo 4

Conclusão pelo Teste da Divergência:
O Teste da Divergência nos diz que se o limite do termo geral limn to infty an neq 0, não for zero, ou seja, se
limn to infty an = 1 neq 0
então a série diverge.
No nosso caso, vimos que:

Resposta

A série diverge.

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