Determine de modo que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor de tal que a integral de até de seja igual a .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais, especialmente integrais de funções racionais.
O que vamos precisar: Vamos precisar saber como integrar funções do tipo , completar o quadrado e usar a fórmula da integral do arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração na integral. Para isso, vamos completar o quadrado em .
Isso deixa a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, substituímos o denominador na integral com a expressão que completamos:
Dica de teoria: A integral de em relação a é .

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula de integral. Neste caso, e (já que ).
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral definida de até :
Sabemos que , então simplifica para:

Passo 6

Vamos isolar :
Agora, aplicamos a função tangente dos dois lados para eliminar o arco-tangente:
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por 5:
Subtraindo 1:

Resposta

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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes; quando ela for convergente, encontre a soma da série.
Decida se a seguinte sequência é convergente ou divergente: . E se o primeiro termo fosse ?
Obtenha o limite da sequência . Leia a sugestão do item 10).
A sequência converge? Em caso afirmativo, qual é o seu limite.
Encontre o centroide da região no quadrante limitada pelo eixo , pela parábola e pela reta Resp: e