Determine b in R de modo que
integral-1^b d xx^2+2 x+26=-pi20

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor de tal que a integral de até de seja igual a .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais, especialmente integrais de funções racionais.
O que vamos precisar: Vamos precisar saber como integrar funções do tipo , completar o quadrado e usar a fórmula da integral do arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração na integral. Para isso, vamos completar o quadrado em x^2 + 2x + 26 = (x^2 + 2x + 1) + 25 = (x + 1)^2 + 25 .
Isso deixa a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, substituímos o denominador na integral com a expressão que completamos:
integral-1^b 1(x + 1)^2 + 25 , dx
Dica de teoria: A integral de em relação a é .

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula de integral. Neste caso, integral 1(x + 1)^2 + 25 , dx = 15 tan^-1(x + 15) + C e (já que ).
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral definida de [ 15 tan^-1(x + 15) ]-1^b = 15 tan^-1(b + 15) - 15 tan^-1(0) até 15 tan^-1(b + 15) = -pi20 :
Sabemos que , então simplifica para:

Passo 6

Vamos isolar tan^-1(b + 15) = -pi4 :
b + 15 = tan(-pi4)
Agora, aplicamos a função tangente dos dois lados para eliminar o arco-tangente:
b + 15 = -1
Sabemos que b + 1 = -5 , então:
b = -6
Multiplicando ambos os lados por 5:
Subtraindo 1:

Resposta

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