Determine
de modo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor de
tal que a integral de
até
de
seja igual a
.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais, especialmente integrais de funções racionais.
O que vamos precisar: Vamos precisar saber como integrar funções do tipo
, completar o quadrado e usar a fórmula da integral do arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração na integral. Para isso, vamos completar o quadrado em
.
Isso deixa a integral mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, substituímos o denominador na integral com a expressão que completamos:
Dica de teoria: A integral de
em relação a
é
.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula de integral. Neste caso,
e
(já que
).
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral definida de
até
:
Sabemos que
, então simplifica para:
Passo 6
Vamos isolar
:
Agora, aplicamos a função tangente dos dois lados para eliminar o arco-tangente:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por 5:
Subtraindo 1: