Seja
uma transformaçāo linear dada por
. Encontre uma base e a dimensāo para a imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. O que precisamos encontrar é uma base para a imagem dessa transformação e a dimensão dessa imagem.
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e conceitos de imagem (ou seja, o conjunto de todos os possíveis resultados de
). Para resolver isso, vamos usar espaços vetoriais, bases e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de
. A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores de saída que podem ser obtidos aplicando
a vetores de entrada em
. Ou seja,
No nosso caso,
Passo 3
Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar vetores que geram todos os possíveis resultados de
e que sejam linearmente independentes. Vamos expressar
de forma que possamos identificar esses vetores.
Podemos reescrever
como:
Isso significa que qualquer vetor na imagem de
é uma combinação linear dos vetores
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos verificar quais desses vetores são linearmente independentes. Se os vetores forem linearmente independentes, eles formarão uma base para a imagem.
Vamos considerar os vetores
,
e
. Para verificar a independência linear, montamos a seguinte equação:
Substituindo os vetores:
Isso resulta em:
Igualando as componentes:
Resolvendo o sistema:
Para ter soluções não triviais (
), os vetores seriam dependentes. Portanto, podemos remover um vetor para obter um conjunto de vetores linearmente independentes.
Passo 5
Vamos remover o vetor
e verificar se
e
são linearmente independentes.
Consideramos a equação:
Substituindo:
Isso dá:
Igualando as componentes:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
. Como a única solução é a trivial (
), os vetores
e
são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para a imagem de
.
Resposta
Uma base para a imagem de
é
e a dimensão da imagem de
é
.
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Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. A funçāo
definida por
é uma transformaçāo linear.
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Seja
a transformaçāo linear definida na base
por
e
. Determine
Seja
. Para
qualquer, ponhamos
. Prove que para todo
é um subespaço vetorial de E .