Seja T: R^3 R^2 uma transformaçāo linear dada por T(x, y, z)=(x+y, y+z). Encontre uma base e a dimensāo para a imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . O que precisamos encontrar é uma base para a imagem dessa transformação e a dimensão dessa imagem.
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e conceitos de imagem (ou seja, o conjunto de todos os possíveis resultados de ). Para resolver isso, vamos usar espaços vetoriais, bases e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de Ima>=m(T) = , T(x, y, z) mid (x, y, z) in R^3 , . A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores de saída que podem ser obtidos aplicando T(x, y, z) = (x + y, y + z) a vetores de entrada em . Ou seja,
No nosso caso,

Passo 3

Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar vetores que geram todos os possíveis resultados de T(x, y, z) = x(1, 0) + y(1, 1) + z(0, 1) e que sejam linearmente independentes. Vamos expressar de forma que possamos identificar esses vetores.
Podemos reescrever como:
Isso significa que qualquer vetor na imagem de é uma combinação linear dos vetores , e .

Passo 4

Agora, vamos verificar quais desses vetores são linearmente independentes. Se os vetores forem linearmente independentes, eles formarão uma base para a imagem.
Vamos considerar os vetores a v1 + b v2 + c v3 = (0, 0) , a(1, 0) + b(1, 1) + c(0, 1) = (0, 0) e (a + b, b + c) = (0, 0) . Para verificar a independência linear, montamos a seguinte equação:
a + b = 0 b + c = 0
Substituindo os vetores:
a = -b c = -b
Isso resulta em:
Igualando as componentes:
Resolvendo o sistema:
Para ter soluções não triviais ( ), os vetores seriam dependentes. Portanto, podemos remover um vetor para obter um conjunto de vetores linearmente independentes.

Passo 5

Vamos remover o vetor a v1 + b v2 = (0, 0) e verificar se a(1, 0) + b(1, 1) = (0, 0) e (a + b, b) = (0, 0) são linearmente independentes.
Consideramos a equação:
a + b = 0 b = 0
Substituindo:
Isso dá:
Igualando as componentes:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . Como a única solução é a trivial ( ), os vetores e são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para a imagem de .

Resposta

Uma base para a imagem de é e a dimensão da imagem de é .

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