Seja T: R^2 R^3 a transformaçāo linear definida na base B=(1,2),(3,1) por T(1,2)=(2,3,-1) e T(3,1)=(1,4,2). Determine T(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida na base . Precisamos descobrir como age em qualquer vetor de . Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor (x, y) = a(1, 2) + b(3, 1) como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações para encontrar a + 3b = x 2a + b = y e a + 3(y - 2a) = x a + 3y - 6a = x -5a + 3y = x -5a = x - 3y a = 3y - x5 :
b = y - 2(3y - x5) = y - 6y - 2x5 = 5y - 6y + 2x5 = 2x - y5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 4

Agora que temos T(x, y) = T(a(1, 2) + b(3, 1)) = aT(1, 2) + bT(3, 1) e T(x, y) = a(2, 3, -1) + b(1, 4, 2) , podemos aplicar a transformação = (2a + b, 3a + 4b, -a + 2b) usando a linearidade:
T(x, y) = (2(3y - x5) + 2x - y5, 3(3y - x5) + 4(2x - y5), -(3y - x5) + 2(2x - y5))
Substituindo os valores de e :
Agora, substituímos e :

Passo 5

Vamos simplificar cada componente:
  1. Primeira componente:
2(3y - x5) + 2x - y5 = 6y - 2x + 2x - y5 = 5y5 = y
  1. Segunda componente:
3(3y - x5) + 4(2x - y5) = 9y - 3x + 8x - 4y5 = 5x + 5y5 = x + y
  1. Terceira componente:
-(3y - x5) + 2(2x - y5) = -3y + x + 4x - 2y5 = 5x - 5y5 = x - y

Resposta

Portanto, a transformação T(x, y) = (y, x + y, x - y) é dada por:

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