Seja a transformaçāo linear definida na base por e . Determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida na base . Precisamos descobrir como age em qualquer vetor de . Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações para encontrar e :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 4

Agora que temos e , podemos aplicar a transformação usando a linearidade:
Substituindo os valores de e :
Agora, substituímos e :

Passo 5

Vamos simplificar cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Resposta

Portanto, a transformação é dada por:

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Seja uma transformaçāo linear dada por . Encontre uma base e a dimensāo para a imagem de .
Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. A funçāo definida por é uma transformaçāo linear.
Seja . Para qualquer, ponhamos . Prove que para todo é um subespaço vetorial de E .
Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(b) .