Seja
a transformaçāo linear definida na base
por
e
. Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear
definida na base
. Precisamos descobrir como
age em qualquer vetor
de
. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores da base
. Ou seja, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações para encontrar
e
:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos aplicar a transformação
usando a linearidade:
Substituindo os valores de
e
:
Agora, substituímos
e
:
Passo 5
Vamos simplificar cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Resposta
Portanto, a transformação
é dada por:
Exercícios relacionados
Seja
uma transformaçāo linear dada por
. Encontre uma base e a dimensāo para a imagem de
.
Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. A funçāo
definida por
é uma transformaçāo linear.
Seja
. Para
qualquer, ponhamos
. Prove que para todo
é um subespaço vetorial de E .
Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(b) .
(b)