Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. Se
é uma transformaçāo linear sobrejetora e dim
, entāo
.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se
é uma transformação linear sobrejetora e
, então
.”
Aqui, estamos tratando de transformações lineares, especificamente sobrejetoras, e relacionando as dimensões do espaço de partida e chegada com o núcleo da transformação. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser sobrejetora. Uma transformação
é sobrejetora se todo vetor em
é imagem de pelo menos um vetor em
. Em termos de imagem, isso significa que a imagem de
é igual a
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema do Núcleo e Imagem, que nos diz que:
Aqui,
é a dimensão do espaço de partida, que é
,
é a dimensão da imagem de
, e
é a dimensão do núcleo de
, que neste caso é dada como 2.
Passo 4
Já que
é sobrejetora, a dimensão da imagem de
é igual à dimensão do espaço de chegada, ou seja,
. Substituindo na equação do Teorema do Núcleo e Imagem:
Passo 5
Calculando a soma:
Portanto, chegamos à conclusão de que
.
Resposta
A afirmação é VERDADEIRA.
Exercícios relacionados
Seja
um espaço vetorial. Defina subespaço vetorial de
.
Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
Seja
uma transformaçāo linear dada por
. Encontre uma base e a dimensão do núcleo de
.
Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(e)
(e)