Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. Se T: R^n R^51 é uma transformaçāo linear sobrejetora e dim Nu(T)=2, entāo n=53.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se é uma transformação linear sobrejetora e , então .”
Aqui, estamos tratando de transformações lineares, especificamente sobrejetoras, e relacionando as dimensões do espaço de partida e chegada com o núcleo da transformação. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se todo vetor em é imagem de pelo menos um vetor em . Em termos de imagem, isso significa que a imagem de é igual a .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema do Núcleo e Imagem, que nos diz que:
dim(Dom(T)) = dim(Im(T)) + dim(Nu(T))
Aqui, é a dimensão do espaço de partida, que é , é a dimensão da imagem de , e é a dimensão do núcleo de , que neste caso é dada como 2.

Passo 4

Já que n = 51 + 2 é sobrejetora, a dimensão da imagem de é igual à dimensão do espaço de chegada, ou seja, . Substituindo na equação do Teorema do Núcleo e Imagem:

Passo 5

Calculando a soma:
n = 53
Portanto, chegamos à conclusão de que .

Resposta

A afirmação é VERDADEIRA.

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