Seja
uma transformaçāo linear dada por
. Encontre uma base e a dimensão do núcleo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o núcleo dessa transformação, que é o conjunto de todos os vetores que
manda para o vetor zero. Além disso, vamos descobrir qual é a dimensão desse núcleo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e bases de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de
. O núcleo (
) é o conjunto de todos os vetores
em
que, ao serem transformados por
, resultam no vetor zero em
. Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações igualando cada componente a zero.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações a partir de
:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre
,
e
.
Passo 4
Resolvendo a primeira equação
, podemos expressar
em termos de
:
Da segunda equação
, podemos expressar
em termos de
:
Portanto, todos os vetores no núcleo são da forma
.
Passo 5
Vamos parametrizar esses vetores usando
como parâmetro. Podemos escrever:
Isso mostra que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor
. Isso significa que o núcleo é gerado por esse vetor.
Passo 6
Uma base para o núcleo de
é um conjunto de vetores que geram todo o núcleo e são linearmente independentes. Como temos apenas um vetor que gera o núcleo, nossa base será:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, então nesse caso, a dimensão é 1.
Resposta
Uma base do núcleo de
é
e a dimensão do núcleo é 1.
Exercícios relacionados
Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. Se
é uma transformaçāo linear sobrejetora e dim
, entāo
.
Seja
um espaço vetorial. Defina subespaço vetorial de
.
Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(e)
(e)
Seja
a transformação linear definida por
Determine a matriz de
em relação às bases ordenadas
de
e
canônica de
.