Seja T: R^3 R^2 uma transformaçāo linear dada por T(x, y, z)=(x+y, y+z). Encontre uma base e a dimensão do núcleo de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o núcleo dessa transformação, que é o conjunto de todos os vetores que manda para o vetor zero. Além disso, vamos descobrir qual é a dimensão desse núcleo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e bases de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de T(x, y, z) = (x+y, y+z) = (0, 0) . O núcleo ( ) é o conjunto de todos os vetores em que, ao serem transformados por , resultam no vetor zero em . Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações igualando cada componente a zero.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações a partir de x + y = 0 y + z = 0 :
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre , e .

Passo 4

Resolvendo a primeira equação x = -y , podemos expressar z = -y em termos de :
Da segunda equação , podemos expressar em termos de :
Portanto, todos os vetores no núcleo são da forma .

Passo 5

Vamos parametrizar esses vetores usando (x, y, z) = y cdot (-1, 1, -1) como parâmetro. Podemos escrever:
Isso mostra que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor . Isso significa que o núcleo é gerado por esse vetor.

Passo 6

Uma base para o núcleo de , (-1, 1, -1) , é um conjunto de vetores que geram todo o núcleo e são linearmente independentes. Como temos apenas um vetor que gera o núcleo, nossa base será:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, então nesse caso, a dimensão é 1.

Resposta

Uma base do núcleo de é e a dimensão do núcleo é 1.

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