Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decidir se um conjunto de cinco vetores em é linearmente independente. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar organizar esses vetores em uma matriz e verificar se eles são independentes ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Basicamente, isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Se isso for possível, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Vamos organizar os vetores como colunas em uma matriz. Os vetores dados são:
Então, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, para verificar a independência linear, vamos calcular o posto (ou rank) dessa matriz. O posto nos diz o número máximo de colunas (ou linhas) que são linearmente independentes. Se o posto for igual ao número de vetores, eles são independentes; se não, são dependentes.
Passo 5
Vamos usar o método da eliminação de Gauss para simplificar a matriz:
Primeira coluna: Já temos um 1 no topo. Vamos zerar os outros elementos abaixo dele.
Segunda coluna: Depois de eliminar os elementos abaixo do primeiro 1, repetimos o processo para cada coluna seguinte.
Após realizar as operações, a matriz ficará na forma escalonada, e o número de pivôs (os 1s que levam cada linha) será o posto.
Passo 6
Após as operações, constatamos que há no máximo 4 pivôs, que é o número de linhas da matriz. Isso significa que o posto de é 4.
Passo 7
Como temos 5 vetores e o posto da matriz é 4, isso significa que não é possível ter 5 vetores linearmente independentes em . Portanto, o conjunto de vetores é linearmente dependente.