Verifique que as equações abaixo descrevem esferas, em caso afirmativo identifique o centro e o raio:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação envolvendo , e e precisa verificar se ela representa uma esfera. Se for uma esfera, precisamos encontrar o centro e o raio dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente o método de completar o quadrado para identificar os parâmetros da esfera.
Passo 2
Vamos começar organizando a equação dada:
O objetivo é reescrever essa equação na forma padrão da equação da esfera, que é:
onde é o centro da esfera e é o raio.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para a variável :
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de , que é , dividimos por 2, ficando , e depois elevamos ao quadrado, resultando em . Então:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para a variável :
Metade de é , e ao quadrado fica . Portanto:
Passo 5
Fazendo o mesmo para a variável :
Metade de é , e ao quadrado fica . Então:
Passo 6
Agora, substituímos essas expressões na equação original:
Passo 7
Vamos simplificar os termos constantes:
Assim, a equação fica:
Passo 8
Finalmente, isolamos os termos quadráticos:
Essa é a forma padrão da equação da esfera.
Resposta
Sim, a equação descreve uma esfera com centro em e raio igual a .