Verifique que as equações abaixo descrevem esferas, em caso afirmativo identifique o centro e o raio: x^2-6 x+y^2-4 y+z^2+14 z+58=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação envolvendo , e e precisa verificar se ela representa uma esfera. Se for uma esfera, precisamos encontrar o centro e o raio dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente o método de completar o quadrado para identificar os parâmetros da esfera.

Passo 2

Vamos começar organizando a equação dada:
x^2 - 6x + y^2 - 4y + z^2 + 14z + 58 = 0
O objetivo é reescrever essa equação na forma padrão da equação da esfera, que é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
onde é o centro da esfera e é o raio.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para a variável x^2 - 6x :
x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de , que é , dividimos por 2, ficando , e depois elevamos ao quadrado, resultando em . Então:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para a variável y^2 - 4y :
y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4
Metade de é , e ao quadrado fica . Portanto:

Passo 5

Fazendo o mesmo para a variável z^2 + 14z :
z^2 + 14z = (z + 7)^2 - 49
Metade de é , e ao quadrado fica . Então:

Passo 6

Agora, substituímos essas expressões na equação original:
(x - 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 + (z + 7)^2 - 49 + 58 = 0

Passo 7

Vamos simplificar os termos constantes:
-9 - 4 - 49 + 58 = -4
Assim, a equação fica:
(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 7)^2 - 4 = 0

Passo 8

Finalmente, isolamos os termos quadráticos:
(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 7)^2 = 4
Essa é a forma padrão da equação da esfera.

Resposta

Sim, a equação descreve uma esfera com centro em e raio igual a .

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