no ponto indicado: Ache as retas tangentes ao circulo que passam pelo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as retas que são tangentes ao círculo definido por e que passam pelo ponto . Vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da reta e propriedades dos círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o círculo. A equação pode ser reescrita para identificar o centro e o raio. Para isso, completamos o quadrado:
Então, o centro do círculo é e o raio é 2.

Passo 3

Agora, queremos encontrar as retas que passam pelo ponto e são tangentes ao círculo. Uma reta tangente a um círculo tem a propriedade de que a distância entre o centro do círculo e a reta é igual ao raio.
A equação geral de uma reta é , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Como a reta passa por , podemos relacionar e .

Passo 4

Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta. A distância entre o ponto e a reta é dada por:
Como essa distância deve ser igual ao raio 2:

Passo 5

Além disso, sabemos que a reta passa pelo ponto , então:

Passo 6

Substituindo na equação da distância:

Passo 7

Agora, removemos o valor absoluto e resolvemos a equação:
Vamos considerar as duas possibilidades:

Passo 8

Resolvendo a primeira equação:
Assim, ou .

Passo 9

Resolvendo a segunda equação:
Novamente, ou .

Passo 10

Agora, já temos os valores de . Vamos encontrar para cada caso usando :
  1. Para :
A equação da reta é , ou simplificando, .
  1. Para :
A equação da reta é .

Resposta

As retas tangentes ao círculo que passam pelo ponto são:

Exercícios relacionados

Verifique que as equações abaixo descrevem esferas, em caso afirmativo identifique o centro e o raio:
Sejam
Encontre:
Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
.
Considere as matrizes: , e
Calcule quando possível, as seguintes matrizes: