no ponto indicado: Ache as retas tangentes ao circulo
que passam pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as retas que são tangentes ao círculo definido por
e que passam pelo ponto
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da reta e propriedades dos círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o círculo. A equação
pode ser reescrita para identificar o centro e o raio. Para isso, completamos o quadrado:
Então, o centro do círculo é
e o raio é 2.
Passo 3
Agora, queremos encontrar as retas que passam pelo ponto
e são tangentes ao círculo. Uma reta tangente a um círculo tem a propriedade de que a distância entre o centro do círculo e a reta é igual ao raio.
A equação geral de uma reta é
, onde
é o coeficiente angular e
é o coeficiente linear. Como a reta passa por
, podemos relacionar
e
.
Passo 4
Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta. A distância
entre o ponto
e a reta
é dada por:
Como essa distância deve ser igual ao raio 2:
Passo 5
Além disso, sabemos que a reta passa pelo ponto
, então:
Passo 6
Substituindo
na equação da distância:
Passo 7
Agora, removemos o valor absoluto e resolvemos a equação:
Vamos considerar as duas possibilidades:
Passo 8
Resolvendo a primeira equação:
Assim,
ou
.
Passo 9
Resolvendo a segunda equação:
Novamente,
ou
.
Passo 10
Agora, já temos os valores de
. Vamos encontrar
para cada caso usando
:
- Para
:
A equação da reta é
, ou simplificando,
.
- Para
:
A equação da reta é
.
Resposta
As retas tangentes ao círculo
que passam pelo ponto
são: