no ponto indicado: Ache as retas tangentes ao circulo que passam pelo ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as retas que são tangentes ao círculo definido por e que passam pelo ponto . Vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da reta e propriedades dos círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o círculo. A equação pode ser reescrita para identificar o centro e o raio. Para isso, completamos o quadrado:
Então, o centro do círculo é e o raio é 2.
Passo 3
Agora, queremos encontrar as retas que passam pelo ponto e são tangentes ao círculo. Uma reta tangente a um círculo tem a propriedade de que a distância entre o centro do círculo e a reta é igual ao raio.
A equação geral de uma reta é , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Como a reta passa por , podemos relacionar e .
Passo 4
Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta. A distância entre o ponto e a reta é dada por:
Como essa distância deve ser igual ao raio 2:
Passo 5
Além disso, sabemos que a reta passa pelo ponto , então:
Passo 6
Substituindo na equação da distância:
Passo 7
Agora, removemos o valor absoluto e resolvemos a equação:
Vamos considerar as duas possibilidades:
Passo 8
Resolvendo a primeira equação:
Assim, ou .
Passo 9
Resolvendo a segunda equação:
Novamente, ou .
Passo 10
Agora, já temos os valores de . Vamos encontrar para cada caso usando :
Para :
A equação da reta é , ou simplificando, .
Para :
A equação da reta é .
Resposta
As retas tangentes ao círculo que passam pelo ponto são: