no ponto indicado: Ache as retas tangentes ao circulo x^2+ y^2=4 x que passam pelo ponto (3,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as retas que são tangentes ao círculo definido por e que passam pelo ponto . Vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da reta e propriedades dos círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o círculo. A equação x^2 - 4x + y^2 = 0 pode ser reescrita para identificar o centro e o raio. Para isso, completamos o quadrado:
(x^2 - 4x + 4) + y^2 = 4
(x - 2)^2 + y^2 = 2^2
Então, o centro do círculo é e o raio é 2.

Passo 3

Agora, queremos encontrar as retas que passam pelo ponto e são tangentes ao círculo. Uma reta tangente a um círculo tem a propriedade de que a distância entre o centro do círculo e a reta é igual ao raio.
A equação geral de uma reta é , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Como a reta passa por , podemos relacionar e .

Passo 4

Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta. A distância d = |m cdot 2 - 0 + b|raizm^2 + 1 = |2m + b|raizm^2 + 1 entre o ponto |2m + b|raizm^2 + 1 = 2 e a reta é dada por:
Como essa distância deve ser igual ao raio 2:

Passo 5

Além disso, sabemos que a reta passa pelo ponto 2 = m cdot 3 + b Rightarrow b = 2 - 3m , então:

Passo 6

Substituindo |2m + (2 - 3m)|raizm^2 + 1 = 2 na equação da distância:
| -m + 2 |raizm^2 + 1 = 2

Passo 7

Agora, removemos o valor absoluto e resolvemos a equação:
-m + 2raizm^2 + 1 = pm 2
Vamos considerar as duas possibilidades:

Passo 8

Resolvendo a primeira equação:
-m + 2raizm^2 + 1 = 2
-m + 2 = 2raizm^2 + 1
(-m + 2)^2 = 4(m^2 + 1)
m^2 - 4m + 4 = 4m^2 + 4
-3m^2 - 4m = 0
m( -3m - 4 ) = 0
Assim, ou .

Passo 9

Resolvendo a segunda equação:
-m + 2raizm^2 + 1 = -2
-m + 2 = -2raizm^2 + 1
(-m + 2)^2 = 4(m^2 + 1)
m^2 - 4m + 4 = 4m^2 + 4
-3m^2 - 4m = 0
m( -3m - 4 ) = 0
Novamente, ou .

Passo 10

Agora, já temos os valores de b = 2 - 3(0) = 2 . Vamos encontrar b = 2 - 3(-43) = 2 + 4 = 6 para cada caso usando :
  1. Para :
A equação da reta é , ou simplificando, .
  1. Para :
A equação da reta é .

Resposta

As retas tangentes ao círculo y = 2 que passam pelo ponto y = -43x + 6 são:

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