Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para decidir quais dos conjuntos de vetores em são linearmente independentes. Os vetores fornecidos são , , e . Para isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente independente e como verificar isso usando matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear dos vetores dá o vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Em termos mais simples, nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação dos outros vetores.
Passo 3
Como estamos trabalhando em e temos quatro vetores, já sabemos que não podem ser todos linearmente independentes. Isso porque, em , o máximo de vetores linearmente independentes é 3. Portanto, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 4
Mas vamos verificar quais subconjuntos são independentes. Vamos começar analisando os primeiros três vetores: , e . Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Onde são os elementos da matriz.
Passo 6
Aplicando na nossa matriz:
Calculando:
Passo 7
Como o determinante é diferente de zero (), isso significa que os três primeiros vetores são linearmente independentes.
Passo 8
Agora, vamos verificar se adicionando o quarto vetor ao conjunto, ele permanece independente. Como já temos três vetores independentes em , o quarto vetor necessariamente será dependente, pois não há espaço suficiente para manter a independência com quatro vetores.
Resposta
O conjunto é linearmente independente, mas ao adicionar o quarto vetor , o conjunto torna-se linearmente dependente.