Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
Em R^3,(2,46,6),(23,2,-123),(1,23,1),(1,10,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para decidir quais dos conjuntos de vetores em são linearmente independentes. Os vetores fornecidos são , , e . Para isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente independente e como verificar isso usando matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear dos vetores dá o vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Em termos mais simples, nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação dos outros vetores.

Passo 3

Como estamos trabalhando em e temos quatro vetores, já sabemos que não podem ser todos linearmente independentes. Isso porque, em , o máximo de vetores linearmente independentes é 3. Portanto, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 4

Mas vamos verificar quais subconjuntos são independentes. Vamos começar analisando os primeiros três vetores: 2 & 23 & 1 46 & 2 & 23 6 & -123 & 1 , e . Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde são os elementos da matriz.

Passo 6

Aplicando na nossa matriz:
a = 2, b = 23, c = 1, d = 46, e = 2, f = 23, g = 6, h = -123, i = 1
Calculando:
det = 2(2 cdot 1 - 23 cdot (-123)) - 23(46 cdot 1 - 23 cdot 6) + 1(46 cdot (-123) - 2 cdot 6)
det = 2(2 + 2829) - 23(46 - 138) + 1(-5658 - 12)
det = 2(2831) - 23(-92) + (-5670)
det = 5662 + 2116 - 5670 = 2108

Passo 7

Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que os três primeiros vetores são linearmente independentes.

Passo 8

Agora, vamos verificar se adicionando o quarto vetor ao conjunto, ele permanece independente. Como já temos três vetores independentes em , o quarto vetor necessariamente será dependente, pois não há espaço suficiente para manter a independência com quatro vetores.

Resposta

O conjunto é linearmente independente, mas ao adicionar o quarto vetor , o conjunto torna-se linearmente dependente.

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