Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para decidir quais dos conjuntos de vetores em são linearmente independentes. Os vetores fornecidos são , , e . Para isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente independente e como verificar isso usando matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear dos vetores dá o vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Em termos mais simples, nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação dos outros vetores.

Passo 3

Como estamos trabalhando em e temos quatro vetores, já sabemos que não podem ser todos linearmente independentes. Isso porque, em , o máximo de vetores linearmente independentes é 3. Portanto, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 4

Mas vamos verificar quais subconjuntos são independentes. Vamos começar analisando os primeiros três vetores: , e . Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Onde são os elementos da matriz.

Passo 6

Aplicando na nossa matriz:
Calculando:

Passo 7

Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que os três primeiros vetores são linearmente independentes.

Passo 8

Agora, vamos verificar se adicionando o quarto vetor ao conjunto, ele permanece independente. Como já temos três vetores independentes em , o quarto vetor necessariamente será dependente, pois não há espaço suficiente para manter a independência com quatro vetores.

Resposta

O conjunto é linearmente independente, mas ao adicionar o quarto vetor , o conjunto torna-se linearmente dependente.

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(ii)
Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
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