Mostrar que o plano tangente à esfera x^2+y^2+z^2=r^2 no ponto ( a, b, c) tem equação a x+b y+c z=r^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que o plano tangente à esfera dada pela equação no ponto tem a equação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre esferas e planos tangentes. Precisamos entender como encontrar a equação de um plano que toca a esfera em apenas um ponto, sem cortar a esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a esfera a^2 + b^2 + c^2 = r^2 tem como centro o ponto e raio . O ponto está na esfera, então ele satisfaz a equação da esfera. Isso significa que:

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente à esfera nesse ponto, usamos a fórmula geral do plano tangente a uma esfera a x + b y + c z = r^2 no ponto . A equação do plano tangente é dada por:
Vamos entender por que isso funciona.

Passo 4

A equação do plano tangente pode ser derivada usando o produto escalar. O vetor normal ao plano tangente é o vetor que vai do centro da esfera até o ponto A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 , ou seja, . A equação de um plano com vetor normal e passando pelo ponto é:

Passo 5

Aplicando isso à nossa situação, temos a(x - a) + b(y - b) + c(z - c) = 0 e o ponto a x - a^2 + b y - b^2 + c z - c^2 = 0 . Substituindo na equação do plano:
Expandindo os termos:

Passo 6

Agora, lembrando que a x + b y + c z - r^2 = 0 , podemos substituir nessa equação:
a x + b y + c z = r^2
Rearranjando os termos, obtemos:

Resposta

Portanto, a equação do plano tangente à esfera a x + b y + c z = r^2 no ponto é:

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