Mostrar que o plano tangente à esfera
no ponto (
tem equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que o plano tangente à esfera dada pela equação
no ponto
tem a equação
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre esferas e planos tangentes. Precisamos entender como encontrar a equação de um plano que toca a esfera em apenas um ponto, sem cortar a esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a esfera
tem como centro o ponto
e raio
. O ponto
está na esfera, então ele satisfaz a equação da esfera. Isso significa que:
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente à esfera nesse ponto, usamos a fórmula geral do plano tangente a uma esfera
no ponto
. A equação do plano tangente é dada por:
Vamos entender por que isso funciona.
Passo 4
A equação do plano tangente pode ser derivada usando o produto escalar. O vetor normal ao plano tangente é o vetor que vai do centro da esfera até o ponto
, ou seja,
. A equação de um plano com vetor normal
e passando pelo ponto
é:
Passo 5
Aplicando isso à nossa situação, temos
e o ponto
. Substituindo na equação do plano:
Expandindo os termos:
Passo 6
Agora, lembrando que
, podemos substituir nessa equação:
Rearranjando os termos, obtemos:
Resposta
Portanto, a equação do plano tangente à esfera
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Decida quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes:
Calcule e analise a tolerância conforme equação a seguir. Se possível, distribua o erro angular diretamente nos ângulos observados e nos azimutes.
$$
T \alpha=(3 \times p \times \sqrt{ } n)+10 $$
Seja
uma matriz quadrada. Mostre que:
Defina os seguintes termos: Cota.