Mostrar que o plano tangente à esfera no ponto ( tem equação

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que o plano tangente à esfera dada pela equação no ponto tem a equação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre esferas e planos tangentes. Precisamos entender como encontrar a equação de um plano que toca a esfera em apenas um ponto, sem cortar a esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a esfera tem como centro o ponto e raio . O ponto está na esfera, então ele satisfaz a equação da esfera. Isso significa que:

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente à esfera nesse ponto, usamos a fórmula geral do plano tangente a uma esfera no ponto . A equação do plano tangente é dada por:
Vamos entender por que isso funciona.

Passo 4

A equação do plano tangente pode ser derivada usando o produto escalar. O vetor normal ao plano tangente é o vetor que vai do centro da esfera até o ponto , ou seja, . A equação de um plano com vetor normal e passando pelo ponto é:

Passo 5

Aplicando isso à nossa situação, temos e o ponto . Substituindo na equação do plano:
Expandindo os termos:

Passo 6

Agora, lembrando que , podemos substituir nessa equação:
Rearranjando os termos, obtemos:

Resposta

Portanto, a equação do plano tangente à esfera no ponto é:

Exercícios relacionados

Decida quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes:
Calcule e analise a tolerância conforme equação a seguir. Se possível, distribua o erro angular diretamente nos ângulos observados e nos azimutes.
$$
T \alpha=(3 \times p \times \sqrt{ } n)+10 $$
Seja uma matriz quadrada. Mostre que:
ééã
Defina os seguintes termos: Cota.