Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida por
e precisa descobrir se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de um valor específico quando
cresce bastante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e simplificação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme
aumenta. O numerador é
e o denominador é
. Conforme
cresce,
e
também crescem. Para entender melhor, podemos reescrever a expressão dividindo numerador e denominador por
:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito. Sabemos que
e
tendem a zero quando
cresce sem limites. Então, a expressão simplifica para:
Passo 4
Observamos que
tende a zero quando
vai para o infinito, porque o denominador cresce sem limites, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero. Portanto, a sequência
está se aproximando de zero.
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: © Se
, então
. [Sugestão: Use a desigualdade
.]
Resolva a equação
e
:
.
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (d) Se
e
são convergentes, então
converge.