Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida por e precisa descobrir se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de um valor específico quando cresce bastante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme aumenta. O numerador é e o denominador é . Conforme cresce, e também crescem. Para entender melhor, podemos reescrever a expressão dividindo numerador e denominador por :

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito. Sabemos que e tendem a zero quando cresce sem limites. Então, a expressão simplifica para:

Passo 4

Observamos que tende a zero quando vai para o infinito, porque o denominador cresce sem limites, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero. Portanto, a sequência está se aproximando de zero.

Resposta

A sequência converge, e o seu limite é .

Exercícios relacionados

Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: © Se , então . [Sugestão: Use a desigualdade .]
Resolva a equação e : .
Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (d) Se e são convergentes, então converge.