Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: © Se lim an=a, então lim |an|=|a|. [Sugestão: Use a desigualdade | x|-|y|| <=|x-y|.]

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se lim an=a, então lim |an|=|a|". Estamos trabalhando com limites de sequências e valores absolutos. Para resolver isso, vamos utilizar a desigualdade sugerida: |,|x| - |y|,| <= |x - y|.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa lim an = a. Isso quer dizer que, conforme n aumenta, os termos da sequência an ficam cada vez mais próximos do número a.
Agora, queremos descobrir o limite de |an|. Para isso, usamos a desigualdade fornecida:
|,|an| - |a|,| <= |an - a|

Passo 3

Sabemos que lim an = a, então lim |an - a| = 0. Isso significa que a diferença entre an e a está ficando cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 4

Aplicando a desigualdade:
|,|an| - |a|,| <= |an - a|
Como o lado direito tende a zero:
lim |,|an| - |a|,| <= lim |an - a| = 0
Isso implica que:
lim |an| = |a|

Resposta

A afirmação é verdadeira porque, usando a desigualdade |,|an| - |a|,| <= |an - a|, mostramos que lim |an| = |a| quando lim an = a.

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