Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: © Se , então . [Sugestão: Use a desigualdade .]

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se , então ". Estamos trabalhando com limites de sequências e valores absolutos. Para resolver isso, vamos utilizar a desigualdade sugerida: .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, conforme aumenta, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos do número .
Agora, queremos descobrir o limite de . Para isso, usamos a desigualdade fornecida:

Passo 3

Sabemos que , então . Isso significa que a diferença entre e está ficando cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 4

Aplicando a desigualdade:
Como o lado direito tende a zero:
Isso implica que:

Resposta

A afirmação é verdadeira porque, usando a desigualdade , mostramos que quando .

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Resolva a equação e : .
Resolva as equações: ,
Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .