Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos decidir se a sequência converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de análise de limites de sequências. Vamos verificar o comportamento de conforme cresce indefinidamente.

Passo 2

Primeiro, observamos que na expressão , temos dois termos: e . Sabemos que cresce muito mais rápido que conforme aumenta.

Passo 3

Vamos calcular o limite de cada termo separadamente quando tende ao infinito:
Embora ambos os termos tendam ao infinito, o termo domina porque cresce mais rapidamente que .

Passo 4

Subtraindo os dois limites, temos:
Essa forma é indeterminada, mas sabemos que cresce muito mais rápido, então o resultado será infinito.

Passo 5

Para confirmar, podemos considerar a forma simplificada dividindo numerador e denominador por :
À medida que tende ao infinito, tende a 0, então:

Resposta

A sequência não converge, pois tende ao infinito conforme cresce.

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Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: © Se , então . [Sugestão: Use a desigualdade .]
Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (d) Se e são convergentes, então converge.
Prove que: Se , para todo , e , então .