Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos decidir se a sequência
converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de análise de limites de sequências. Vamos verificar o comportamento de
conforme
cresce indefinidamente.
Passo 2
Primeiro, observamos que na expressão
, temos dois termos:
e
. Sabemos que
cresce muito mais rápido que
conforme
aumenta.
Passo 3
Vamos calcular o limite de cada termo separadamente quando
tende ao infinito:
Embora ambos os termos tendam ao infinito, o termo
domina porque cresce mais rapidamente que
.
Passo 4
Subtraindo os dois limites, temos:
Essa forma é indeterminada, mas sabemos que
cresce muito mais rápido, então o resultado será infinito.
Passo 5
Para confirmar, podemos considerar a forma simplificada dividindo numerador e denominador por
:
À medida que
tende ao infinito,
tende a 0, então:
Resposta
A sequência
não converge, pois tende ao infinito conforme
cresce.
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Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: © Se
, então
. [Sugestão: Use a desigualdade
.]
Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (d) Se
e
são convergentes, então
converge.
Prove que: Se
, para todo
, e
, então
.