Resolva a equação e : .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial , onde é a primeira derivada de em relação ao tempo , e é a segunda derivada. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes, focando em encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, temos:
Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Primeiro, calculamos o discriminante :
Um discriminante igual a zero significa que temos duas raízes reais e iguais.

Passo 4

Com o discriminante igual a zero, encontramos a raiz dupla:
Então, as duas raízes são .

Passo 5

Como temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que a gente determina com condições iniciais, caso sejam fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva as equações: ,
Nos problemas de 9 e 10, resolva os problemas de valor inicial:
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: © Se , então . [Sugestão: Use a desigualdade .]
Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .