Resolva a equação
e
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
, onde
é a primeira derivada de
em relação ao tempo
, e
é a segunda derivada. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes, focando em encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Primeiro, calculamos o discriminante
:
Um discriminante igual a zero significa que temos duas raízes reais e iguais.
Passo 4
Com o discriminante igual a zero, encontramos a raiz dupla:
Então, as duas raízes são
.
Passo 5
Como temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, caso sejam fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
,
Nos problemas de 9 e 10, resolva os problemas de valor inicial:
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: © Se
, então
. [Sugestão: Use a desigualdade
.]
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.