Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (d) Se
e
são convergentes, então
converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se, quando duas sequências
e
convergem, isso garante que a sequência
também converge. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de operações com limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência
converge se existe um número
tal que, conforme
fica grande, os termos
ficam cada vez mais próximos de
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, considerando que
converge para algum limite
, temos:
E que
também converge para algum limite, digamos
:
Passo 4
Queremos saber se
necessariamente converge. Para isso, vamos pensar na relação entre os limites. Se
converge para
e
converge para
, podemos tentar isolar
.
Passo 5
Se
, podemos dividir os limites:
Então, nesse caso,
converge para
.
Passo 6
No entanto, e se
? Se o limite de
for zero, a divisão
não está definida. Nesse caso, mesmo que
convirja, não podemos concluir que
converge. Na verdade, pode acontecer de
não ter limite algum.
Passo 7
Para ilustrar isso, vamos criar um contra-exemplo onde
e
converge, mas
não converge. Por exemplo, seja:
Então:
Sabemos que
e
, mas
não converge, pois alterna entre
e
.
Resposta
Não, a sequência
não necessariamente converge mesmo que
e
sejam convergentes.
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Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
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.
Prove que: Se
, para todo
, e
, então
.
a)