Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (d) Se s_n para n em N e (s_n * t_n) onde n pertence a N são convergentes, então t_n com n em N converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se, quando duas sequências s_n e convergem, isso garante que a sequência também converge. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de operações com limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência a_n converge se existe um número L tal que, conforme n fica grande, os termos a_n ficam cada vez mais próximos de L. Ou seja, .

Passo 3

Agora, considerando que s_n converge para algum limite S, temos:
E que também converge para algum limite, digamos T:

Passo 4

Queremos saber se necessariamente converge. Para isso, vamos pensar na relação entre os limites. Se s_n converge para S e converge para T, podemos tentar isolar .

Passo 5

Se , podemos dividir os limites:
Então, nesse caso, converge para .

Passo 6

No entanto, e se ? Se o limite de s_n for zero, a divisão não está definida. Nesse caso, mesmo que convirja, não podemos concluir que converge. Na verdade, pode acontecer de não ter limite algum.

Passo 7

Para ilustrar isso, vamos criar um contra-exemplo onde e converge, mas não converge. Por exemplo, seja:
Então:
Sabemos que e , mas não converge, pois alterna entre 1 e -1.

Resposta

Não, a sequência não necessariamente converge mesmo que s_n e sejam convergentes.

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