Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (d) Se e são convergentes, então converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se, quando duas sequências e convergem, isso garante que a sequência também converge. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de operações com limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência converge se existe um número tal que, conforme fica grande, os termos ficam cada vez mais próximos de . Ou seja, .

Passo 3

Agora, considerando que converge para algum limite , temos:
E que também converge para algum limite, digamos :

Passo 4

Queremos saber se necessariamente converge. Para isso, vamos pensar na relação entre os limites. Se converge para e converge para , podemos tentar isolar .

Passo 5

Se , podemos dividir os limites:
Então, nesse caso, converge para .

Passo 6

No entanto, e se ? Se o limite de for zero, a divisão não está definida. Nesse caso, mesmo que convirja, não podemos concluir que converge. Na verdade, pode acontecer de não ter limite algum.

Passo 7

Para ilustrar isso, vamos criar um contra-exemplo onde e converge, mas não converge. Por exemplo, seja:
Então:
Sabemos que e , mas não converge, pois alterna entre e .

Resposta

Não, a sequência não necessariamente converge mesmo que e sejam convergentes.

Exercícios relacionados

Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Prove que: Se , para todo , e , então .
a)