Decida se a sequência (a_n)_{n ∈ N} converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: a_n = n * 2^(-n).

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente decidir se a sequência converge ou não. Se ela convergir, temos que encontrar o limite. Vamos usar conhecimentos de sequências e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se, à medida que aumenta indefinidamente, os termos da sequência se aproximam de um número específico, chamado de limite.

Passo 3

Olha só, na nossa sequência , temos que pode ser escrito como . Então, a sequência fica . Aqui, o numerador cresce linearmente (apenas multiplicando por n), enquanto o denominador cresce exponencialmente (multiplicando por 2 a cada vez). Em geral, o crescimento exponencial domina o linear, fazendo com que o termo inteiro diminua conforme aumenta.

Passo 4

Para calcular o limite, observamos o comportamento de quando vai para infinito. Sabemos que cresce muito mais rápido que , então o quociente tende a zero. Formalmente, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que se temos uma forma indeterminada , podemos derivar o numerador e o denominador:

Resposta

A sequência converge, e o limite é 0.

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