Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Passo 1
Então, o exercício pede pra gente decidir se a sequência
converge ou não. Se ela convergir, temos que encontrar o limite. Vamos usar conhecimentos de sequências e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se, à medida que
aumenta indefinidamente, os termos da sequência se aproximam de um número específico, chamado de limite.
Passo 3
Olha só, na nossa sequência
, temos
que pode ser escrito como
. Então, a sequência fica
. Aqui, o numerador cresce linearmente (apenas multiplicando por n), enquanto o denominador cresce exponencialmente (multiplicando por 2 a cada vez). Em geral, o crescimento exponencial domina o linear, fazendo com que o termo inteiro diminua conforme
aumenta.
Passo 4
Para calcular o limite, observamos o comportamento de
quando
vai para infinito. Sabemos que
cresce muito mais rápido que
, então o quociente tende a zero. Formalmente, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que se temos uma forma indeterminada
, podemos derivar o numerador e o denominador:
Resposta
A sequência
converge, e o limite é 0.