Decida se a sequência a_n = e^(2n/(n+2)) converge ou diverge; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a sequência converge ou diverge. Se convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o expoente da nossa sequência: . Nosso objetivo é encontrar o limite dessa expressão quando tende ao infinito. Entender esse limite vai nos ajudar a determinar o comportamento da sequência .

Passo 3

Para encontrar , vamos dividir numerador e denominador por (o maior termo):

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece com quando cresce sem limites. Como vai para o infinito, tende a zero. Então, temos:
Portanto, .

Passo 5

Agora que sabemos que o limite do expoente é 2, vamos voltar à nossa sequência original:
Isso significa que, quando tende ao infinito, tende a .

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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