Decida se a sequência a_n = e^(2n/(n+2)) converge ou diverge; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a sequência converge ou diverge. Se convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o expoente da nossa sequência: . Nosso objetivo é encontrar o limite dessa expressão quando tende ao infinito. Entender esse limite vai nos ajudar a determinar o comportamento da sequência .

Passo 3

Para encontrar , vamos dividir numerador e denominador por (o maior termo):

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece com quando cresce sem limites. Como vai para o infinito, tende a zero. Então, temos:
Portanto, .

Passo 5

Agora que sabemos que o limite do expoente é 2, vamos voltar à nossa sequência original:
Isso significa que, quando tende ao infinito, tende a .

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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Resolva os sistemas de Equações pelo método da substituição:
{ 2x - 4y = -2, 5x - 3y = 2 }
Resolva os sistemas de Equações pelo método da substituição:
{x+y=1, x-2y=1}
(a) sumn=1^infty 10^n(-9)^n-1
(b) sumn=1^infty (-3)^n-14^n
© sumn=0^infty 1(raiz2)^n
(d) sumn=0^infty pi^n3^n+1
(e) sumn=1^infty n-13 n-1
(f) 13+16+19+112+115+cdots
(g) 13+29+127+281+1243+2729+cdots
(h) sumk=1^infty k(k+2)(k+3)^2
(i) sumn=1^infty 1+2^n3^n
(j) sumn=1^infty 1+3^n2^n
(k) sumn=1^infty raiz[n]2
(l) sumn=1^infty[(0,8)^n-1-(0,3)^n]
(m) sumn=1^infty ln (n^2+12 n^2+1)
(n) sumn=1^infty 11+(2 / 3)^n
(o) sumk=0^infty(pi3)^k
§ sumk=1^infty(cos 1)^k
(q) sumn=1^infty arctan n
(2,0) Mostre que a EDO
x + y + x ln x dy/dx = 0
não é exata e encontre o fator integrante mu(x).