(2,0) Mostre que a EDO
x + y + x ln x dy/dx = 0
não é exata e encontre o fator integrante mu(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é . Nosso trabalho aqui é primeiro verificar se essa equação é exata, e se não for, encontrar um fator integrante que ajude a torná-la exata. Isso tudo faz parte do estudo de EDOs que podem ser resolvidas por métodos específicos, facilitando a nossa vida na hora de encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão . Para isso, vamos reorganizar os termos:
Podemos reescrever isso como:
Assim, identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma EDO é exata se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Em outras palavras, devemos ter:
Se isso for verdade, a equação é exata e podemos resolver diretamente. Se não, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, :
Segundo, :

Passo 5

Comparando as derivadas:
Vemos que a menos que , o que só acontece para . Portanto, a equação não é exata.

Passo 6

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicado na equação original, torne-a exata. Para encontrar , usamos a fórmula:

Passo 7

Vamos calcular o numerador :
Agora, substituímos na fórmula do fator integrante:

Passo 8

Integrando :
Como estamos buscando apenas um fator integrante, podemos ignorar a constante . Então:

Resposta

O fator integrante é .

Exercícios relacionados

(a) sumn=1^infty 10^n(-9)^n-1
(b) sumn=1^infty (-3)^n-14^n
© sumn=0^infty 1(raiz2)^n
(d) sumn=0^infty pi^n3^n+1
(e) sumn=1^infty n-13 n-1
(f) 13+16+19+112+115+cdots
(g) 13+29+127+281+1243+2729+cdots
(h) sumk=1^infty k(k+2)(k+3)^2
(i) sumn=1^infty 1+2^n3^n
(j) sumn=1^infty 1+3^n2^n
(k) sumn=1^infty raiz[n]2
(l) sumn=1^infty[(0,8)^n-1-(0,3)^n]
(m) sumn=1^infty ln (n^2+12 n^2+1)
(n) sumn=1^infty 11+(2 / 3)^n
(o) sumk=0^infty(pi3)^k
§ sumk=1^infty(cos 1)^k
(q) sumn=1^infty arctan n
Decida se a sequência a_n = e^(2n/(n+2)) converge ou diverge; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite.
(1,0) Encontre uma solução particular da forma yP(x) = A e^z para a EDO
d^6y/dx + 4d^2y/dx^2 = 10e^x.
(2,5) Encontre a solução geral da EDO:
d y/d x + 2 y/x = sen(x)/x^2, x > 0