(2,0) Mostre que a EDO
x + y + x ln x dy/dx = 0
não é exata e encontre o fator integrante mu(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é . Nosso trabalho aqui é primeiro verificar se essa equação é exata, e se não for, encontrar um fator integrante que ajude a torná-la exata. Isso tudo faz parte do estudo de EDOs que podem ser resolvidas por métodos específicos, facilitando a nossa vida na hora de encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão . Para isso, vamos reorganizar os termos:
Podemos reescrever isso como:
Assim, identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma EDO é exata se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Em outras palavras, devemos ter:
Se isso for verdade, a equação é exata e podemos resolver diretamente. Se não, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, :
Segundo, :

Passo 5

Comparando as derivadas:
Vemos que a menos que , o que só acontece para . Portanto, a equação não é exata.

Passo 6

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicado na equação original, torne-a exata. Para encontrar , usamos a fórmula:

Passo 7

Vamos calcular o numerador :
Agora, substituímos na fórmula do fator integrante:

Passo 8

Integrando :
Como estamos buscando apenas um fator integrante, podemos ignorar a constante . Então:

Resposta

O fator integrante é .

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