(2,0) Mostre que a EDO
não é exata e encontre o fator integrante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é
. Nosso trabalho aqui é primeiro verificar se essa equação é exata, e se não for, encontrar um fator integrante
que ajude a torná-la exata. Isso tudo faz parte do estudo de EDOs que podem ser resolvidas por métodos específicos, facilitando a nossa vida na hora de encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão
. Para isso, vamos reorganizar os termos:
Podemos reescrever isso como:
Assim, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma EDO é exata se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Em outras palavras, devemos ter:
Se isso for verdade, a equação é exata e podemos resolver diretamente. Se não, precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Passo 5
Comparando as derivadas:
Vemos que
a menos que
, o que só acontece para
. Portanto, a equação não é exata.
Passo 6
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que, quando multiplicado na equação original, torne-a exata. Para encontrar
, usamos a fórmula:
Passo 7
Vamos calcular o numerador
:
Agora, substituímos na fórmula do fator integrante:
Passo 8
Integrando
:
Como estamos buscando apenas um fator integrante, podemos ignorar a constante
. Então:
Resposta
O fator integrante é
.
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(a)
(b)
©
(d)
(e)
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(g)
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(m)
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§
(q)
(b)
©
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(f)
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(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
Decida se a sequência
converge ou diverge; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite.
(1,0) Encontre uma solução particular da forma
para a EDO
(2,5) Encontre a solução geral da EDO: