Beleza, vamos resolver a soma infinita que é o item (a) do exercício:
Aqui, estamos lidando com uma série geométrica, que é um tipo de sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Para resolver isso, vamos precisar identificar a razão da série e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Vamos simplificar ainda mais. Podemos separar os termos com base nas potências:
Então:
Passo 4
Agora, a série fica assim:
Podemos fatorar o -9 fora da soma:
Passo 5
Reconhecemos que isso é uma série geométrica da forma:
onde .
Para que a série geométrica infinita convirja, precisamos que . No nosso caso:
Passo 6
Como , a série geométrica não converge. Isso significa que a soma infinita não tem um valor finito; ela diverge para o infinito.
Resposta
A série não converge, ou seja, diverge para o infinito.