Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
e precisa descobrir se ela converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número quando
fica muito grande. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limite de sequências, especialmente olhando para o comportamento dos termos quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o grau do numerador e do denominador da nossa fração. No numerador, temos
que é de segundo grau, e no denominador, temos
que é de primeiro grau. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, geralmente a sequência tende ao infinito, mas vamos fazer os passos certinhos.
Passo 3
Para facilitar a análise, podemos dividir cada termo do numerador e do denominador por
, que é o maior grau do denominador. Assim:
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece quando
vai para o infinito. Sabemos que
tende a 0 quando
cresce muito. Então, substituindo na expressão:
Passo 5
Mas aí a gente vê que
tende ao infinito. Isso significa que a sequência
não se aproxima de um número finito, mas sim cresce sem limites.
Resposta
A sequência
não converge; ela tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (a) Se
, então
.
Resolva:
constante
.
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
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Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
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