Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a sequência converge ou não e, se convergir, descobrir qual é o limite. Para isso, vamos usar conhecimentos de sequências e limites, especialmente sobre como lidar com expressões que envolvem potências e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência. Observamos que:
Isso ajuda a reescrever a sequência de uma forma que facilita encontrar o limite.

Passo 3

Agora, a sequência fica:
Sabemos que quando tende ao infinito, tende a zero. Então, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando fica bem grande.

Passo 4

Vamos considerar o limite quando tende ao infinito:
Como tende a zero, a expressão dentro da potência tende a 1. Assim, temos uma forma do tipo , que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar o logaritmo.

Passo 5

Vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados para facilitar a análise:
Para grande, é pequeno, então podemos usar a aproximação quando é próximo de zero.

Passo 6

Aplicando a aproximação:
Agora, vamos analisar o comportamento desse termo quando tende ao infinito.

Passo 7

Quando tende ao infinito, tende a zero. Portanto:
Isso significa que tende a zero, então o próprio tende a .

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1.

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Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: © Se e são convergentes, então converge.
Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro: