Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a sequência
converge ou não e, se convergir, descobrir qual é o limite. Para isso, vamos usar conhecimentos de sequências e limites, especialmente sobre como lidar com expressões que envolvem potências e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência. Observamos que:
Isso ajuda a reescrever a sequência de uma forma que facilita encontrar o limite.
Passo 3
Agora, a sequência fica:
Sabemos que quando
tende ao infinito,
tende a zero. Então, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
fica bem grande.
Passo 4
Vamos considerar o limite quando
tende ao infinito:
Como
tende a zero, a expressão dentro da potência tende a 1. Assim, temos uma forma do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar o logaritmo.
Passo 5
Vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados para facilitar a análise:
Para
grande,
é pequeno, então podemos usar a aproximação
quando
é próximo de zero.
Passo 6
Aplicando a aproximação:
Agora, vamos analisar o comportamento desse termo quando
tende ao infinito.
Passo 7
Quando
tende ao infinito,
tende a zero. Portanto:
Isso significa que
tende a zero, então o próprio
tende a
.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 1.
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Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: © Se
e
são convergentes, então
converge.
Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro: