Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência converge ou não. Se ela convergir, a gente também vai encontrar o limite dela. A sequência que estamos analisando é dada por:
Aqui, a gente vai usar conceitos de análise de limites de sequências, especialmente lidando com funções racionais e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar o cálculo do limite quando tende ao infinito. Observe que tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau em é . Para simplificar, vamos dividir o numerador e o denominador por :
Simplificando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada fração quando tende ao infinito:
  • tende a 0, pois o denominador cresce sem limite.
  • também tende a 0, pelo mesmo motivo.
    Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão dentro da raiz e vimos que ela tende a , podemos calcular o limite de :

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (a) Se , então .
Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: © Se e são convergentes, então converge.