Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência converge ou não. Se ela convergir, a gente também vai encontrar o limite dela. A sequência que estamos analisando é dada por:
Aqui, a gente vai usar conceitos de análise de limites de sequências, especialmente lidando com funções racionais e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar o cálculo do limite quando tende ao infinito. Observe que tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau em é . Para simplificar, vamos dividir o numerador e o denominador por :
Simplificando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de cada fração quando tende ao infinito:
tende a 0, pois o denominador cresce sem limite.
também tende a 0, pelo mesmo motivo.
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 4
Agora que simplificamos a expressão dentro da raiz e vimos que ela tende a , podemos calcular o limite de :