Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (d)
, então
.
Passo 1
Então, vamos analisar a afirmação: "Se
, então
". Aqui, estamos lidando com limites de sequências e valores absolutos. Precisamos entender como o limite de uma sequência se relaciona com o limite dos seus valores absolutos para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o limite de uma sequência
é o valor que os termos da sequência se aproximam conforme
cresce. Ou seja,
significa que, para qualquer
, existe um número
tal que, para todo
,
.
Passo 3
Agora, consideremos a expressão
. Isso significa que os valores absolutos dos termos da sequência
estão se aproximando do valor absoluto de
. Mas isso garante que os próprios termos
estão se aproximando de
? Vamos ver.
Passo 4
Vamos pensar em um exemplo. Suponha que
e consideremos a sequência
. Calculando o limite dos valores absolutos, temos
, que satisfaz a condição
. Porém, a sequência
não converge para 1, pois ela oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar em nenhum dos dois valores.
Passo 5
Esse exemplo mostra que mesmo com
, não necessariamente
. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa.
Exercícios relacionados
Mostre (utilizando somente a definição de convergência) que as sequências
, cujos termos gerais são dados abaixo, são convergentes:
.
Resolva a equação
e
:
,
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.