Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:

Passo 1

Vamos resolver o exercício de calcular uma aproximação para usando o polinômio de Taylor de ordem 2. Para isso, vamos precisar entender como construir o polinômio de Taylor e aplicar seus termos até a segunda ordem para obter a aproximação desejada.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno de é dado por:
Vamos calcular cada termo:
  • , então
  • , então
Substituindo esses valores na expressão do polinômio:

Passo 3

Agora, vamos substituir na expressão do polinômio:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:

Passo 4

Para avaliar o erro dessa aproximação, usamos o termo de Lagrange, que para o polinômio de Taylor de ordem 2 é:
Como , todas as derivadas são , e como está entre e , temos .
Portanto, o erro é:

Resposta

A aproximação de usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é , com um erro estimado de aproximadamente .

Exercícios relacionados

Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: © Se e são convergentes, então converge.
Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Resolva: ,
Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas: