Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:
Passo 1
Vamos resolver o exercício de calcular uma aproximação para
usando o polinômio de Taylor de ordem 2. Para isso, vamos precisar entender como construir o polinômio de Taylor e aplicar seus termos até a segunda ordem para obter a aproximação desejada.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função
em torno de
é dado por:
Vamos calcular cada termo:
-
-
, então -
, então
Substituindo esses valores na expressão do polinômio:
Passo 3
Agora, vamos substituir
na expressão do polinômio:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:
Passo 4
Para avaliar o erro dessa aproximação, usamos o termo de Lagrange, que para o polinômio de Taylor de ordem 2 é:
Como
, todas as derivadas são
, e como
está entre
e
, temos
.
Portanto, o erro é:
Resposta
A aproximação de
usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é
, com um erro estimado de aproximadamente
.