Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: © Se s_n para n em N e (s_n + t_n)_{n em N} são convergentes, então t_n com n em N converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a seguinte afirmação: “Se as sequências s_n e são convergentes, então a sequência também é convergente.” A matéria envolvida aqui é análise de sequências numéricas, especificamente sobre convergência de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser convergente e como as operações entre sequências afetam essa convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência a_n converge para um número L se, à medida que n aumenta, os termos de a_n ficam cada vez mais próximos de L. Em outras palavras, para qualquer pequena distância que você escolher (digamos, ), existe um ponto na sequência a partir do qual todos os termos estão dentro dessa distância de L.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação: se s_n converge e também converge, então converge. Para verificar se isso é sempre verdade, podemos tentar provar que realmente converge ou encontrar um contra-exemplo onde isso não acontece.

Passo 4

Vamos tentar provar que converge. Sabemos que s_n converge para algum limite, digamos S, e que converge para outro limite, digamos A. Queremos mostrar que também converge, e identificar seu limite.

Passo 5

Sabendo que s_n converge para S e converge para A, podemos subtrair a primeira sequência da segunda:
Isso nos dá que é igual à diferença entre os limites de e s_n.

Passo 6

Portanto, se s_n converge para S e converge para A, então:
Isso mostra que converge, e seu limite é .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se s_n e são convergentes, então também converge, com limite igual à diferença dos limites de e s_n.

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