Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: © Se
e
são convergentes, então
converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a seguinte afirmação: “Se as sequências
e
são convergentes, então a sequência
também é convergente.” A matéria envolvida aqui é análise de sequências numéricas, especificamente sobre convergência de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser convergente e como as operações entre sequências afetam essa convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência
converge para um número
se, à medida que
aumenta, os termos de
ficam cada vez mais próximos de
. Em outras palavras, para qualquer pequena distância que você escolher (digamos,
), existe um ponto na sequência a partir do qual todos os termos estão dentro dessa distância de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação: se
converge e
também converge, então
converge. Para verificar se isso é sempre verdade, podemos tentar provar que
realmente converge ou encontrar um contra-exemplo onde isso não acontece.
Passo 4
Vamos tentar provar que
converge. Sabemos que
converge para algum limite, digamos
, e que
converge para outro limite, digamos
. Queremos mostrar que
também converge, e identificar seu limite.
Passo 5
Sabendo que
converge para
e
converge para
, podemos subtrair a primeira sequência da segunda:
Isso nos dá que
é igual à diferença entre os limites de
e
.
Passo 6
Portanto, se
converge para
e
converge para
, então:
Isso mostra que
converge, e seu limite é
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
e
são convergentes, então
também converge, com limite igual à diferença dos limites de
e
.
Exercícios relacionados
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:
Resolva:
,