Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: © Se e são convergentes, então converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a seguinte afirmação: “Se as sequências e são convergentes, então a sequência também é convergente.” A matéria envolvida aqui é análise de sequências numéricas, especificamente sobre convergência de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser convergente e como as operações entre sequências afetam essa convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência converge para um número se, à medida que aumenta, os termos de ficam cada vez mais próximos de . Em outras palavras, para qualquer pequena distância que você escolher (digamos, ), existe um ponto na sequência a partir do qual todos os termos estão dentro dessa distância de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação: se converge e também converge, então converge. Para verificar se isso é sempre verdade, podemos tentar provar que realmente converge ou encontrar um contra-exemplo onde isso não acontece.

Passo 4

Vamos tentar provar que converge. Sabemos que converge para algum limite, digamos , e que converge para outro limite, digamos . Queremos mostrar que também converge, e identificar seu limite.

Passo 5

Sabendo que converge para e converge para , podemos subtrair a primeira sequência da segunda:
Isso nos dá que é igual à diferença entre os limites de e .

Passo 6

Portanto, se converge para e converge para , então:
Isso mostra que converge, e seu limite é .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se e são convergentes, então também converge, com limite igual à diferença dos limites de e .

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Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
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Resolva: ,