Mostre (utilizando somente a definição de convergência) que as sequências , cujos termos gerais são dados abaixo, são convergentes: .
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: temos uma sequência definida por e precisamos mostrar que ela converge usando apenas a definição de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequência e entender passo a passo como provar que a sequência se aproxima de um valor específico à medida que cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Dizemos que uma sequência converge para um limite se, para todo , existe um número tal que para todo , a diferença entre e é menor que . Em outras palavras:
Passo 3
Vamos tentar descobrir qual é o limite da sequência . Observando a expressão, percebemos que, conforme fica muito grande, o termo 8 se torna insignificante em comparação com . Portanto, intuitivamente, a sequência deve se aproximar de 1.
Matematicamente, podemos dividir o numerador e o denominador por :
À medida que cresce para o infinito, tende a 0, então:
Passo 4
Agora, vamos usar a definição de convergência para provar que realmente converge para 1. Queremos mostrar que, para qualquer , existe um tal que se , então .
Vamos calcular :
Queremos que . Resolvendo para :
Portanto, podemos escolher como o menor inteiro maior que .