Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3 )]
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos a sequência
e precisamos decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, também devemos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades da função arco-tangente (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento de
quando
cresce. A função
é conhecida por ter um limite quando
tende ao infinito. Especificamente, sabemos que:
Isso significa que, conforme
fica cada vez maior,
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência
. Queremos encontrar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito. Aplicando o limite, temos:
Substituindo o limite de
:
Passo 4
Simplificando a expressão, percebemos que temos uma constante dividida por
, que tende ao infinito. Portanto:
Isso significa que à medida que
cresce, o termo
fica cada vez menor, se aproximando de zero.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Seja
a região limitada pelos paraboloides
e
. Calcule o volume de
, usando a ordem de integração
. Resp:
Encontre o centroide da região no
quadrante limitada pelo eixo
, pela parábola
e pela reta
Resp:
e
Para quais valores de
a sequência
converge?
Se , então
? Justifique.
Se