Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3 )]

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos a sequência e precisamos decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, também devemos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades da função arco-tangente ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento de quando cresce. A função é conhecida por ter um limite quando tende ao infinito. Especificamente, sabemos que:
Isso significa que, conforme fica cada vez maior, se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência . Queremos encontrar o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Aplicando o limite, temos:
Substituindo o limite de :

Passo 4

Simplificando a expressão, percebemos que temos uma constante dividida por , que tende ao infinito. Portanto:
Isso significa que à medida que cresce, o termo fica cada vez menor, se aproximando de zero.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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Seja a região limitada pelos paraboloides e . Calcule o volume de , usando a ordem de integração . Resp:
Encontre o centroide da região no quadrante limitada pelo eixo , pela parábola e pela reta Resp: e
Para quais valores de a sequência converge?
Se , então ? Justifique.