Encontre o centroide da região no quadrante limitada pelo eixo , pela parábola e pela reta Resp: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o centroide de uma região no primeiro quadrante limitada pelo eixo , pela parábola e pela reta . O centroide é como o “ponto médio de equilíbrio” da área. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais para calcular a área e os momentos dessa região.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites da região. Vamos encontrar os pontos onde a parábola e a reta se interceptam.
Temos:
Substituindo da equação (2) na equação (1):
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, o ponto de interseção é .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para . A região vai de até .
Para cada valor de nesse intervalo, varia da parábola até a reta. Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular a área (A) da região usando a integral dupla:
Integrando em relação a :
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral para a área:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular os momentos e .
Primeiro, o momento em relação ao eixo :
Integrando em relação a :
Passo 7
Resolvendo a integral para :
Calculando cada parte:
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular o momento em relação ao eixo :
Integrando em relação a :
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo a integral para :
Calculando cada parte:
Então:
Calculando:
Passo 10
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centroide usando as fórmulas: