Encontre o centroide da região no quadrante limitada pelo eixo , pela parábola e pela reta Resp: e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o centroide de uma região no primeiro quadrante limitada pelo eixo , pela parábola e pela reta . O centroide é como o “ponto médio de equilíbrio” da área. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais para calcular a área e os momentos dessa região.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites da região. Vamos encontrar os pontos onde a parábola e a reta se interceptam.
Temos:
Substituindo da equação (2) na equação (1):
Resolvendo essa equação quadrática:
á
Então, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para . A região vai de até .
Para cada valor de nesse intervalo, varia da parábola até a reta. Ou seja:
é

Passo 4

Vamos calcular a área (A) da região usando a integral dupla:
Integrando em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a integral para a área:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular os momentos e .
Primeiro, o momento em relação ao eixo :
Integrando em relação a :

Passo 7

Resolvendo a integral para :
Calculando cada parte:
Então:

Passo 8

Agora, vamos calcular o momento em relação ao eixo :
Integrando em relação a :
Simplificando:

Passo 9

Resolvendo a integral para :
Calculando cada parte:
Então:
Calculando:

Passo 10

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centroide usando as fórmulas:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O centroide da região é .

Exercícios relacionados

Obtenha o limite da sequência . Leia a sugestão do item 10).
A sequência converge? Em caso afirmativo, qual é o seu limite.
Determine de modo que
Seja a região limitada pelos paraboloides e . Calcule o volume de , usando a ordem de integração . Resp:
Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3 )]