Seja
a região limitada pelos paraboloides
e
. Calcule o volume de
, usando a ordem de integração
. Resp:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região
limitada por dois paraboloides:
e
. Nosso objetivo é calcular o volume dessa região usando integrações na ordem
.
Passo 2
Para calcular o volume, precisamos determinar os limites de integração. Começamos encontrando onde os dois paraboloides se encontram. Igualando as duas equações:
Passo 3
Simplificando a equação:
Isso significa que os paraboloides se intersectam quando
, que é um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de
. Para cada ponto
dentro do círculo
,
varia de
até
.
Passo 5
Em seguida, determinamos os limites para
. Para um dado
,
varia de
até
.
Passo 6
Finalmente, determinamos os limites para
. Como o raio do círculo é 2,
varia de -2 até 2.
Passo 7
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
Passo 8
Resolvendo a integral em
:
Passo 9
Integrando em
:
Ao calcular as integrais e simplificar, chegamos ao resultado final.
Resposta
O volume da região
é
.
Exercícios relacionados
Encontre o centroide da região no
quadrante limitada pelo eixo
, pela parábola
e pela reta
Resp:
e
Obtenha o limite da sequência
. Leia a sugestão do item 10).
A sequência converge? Em caso afirmativo, qual é o seu limite.
A sequência
Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3 )]