Seja D a região limitada pelos paraboloides z = 8 - x^2 - y^2 e z = x^2 + y^2. Calcule o volume de D, usando a ordem de integração dz dy dx. Resp: 16 pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região limitada por dois paraboloides: e . Nosso objetivo é calcular o volume dessa região usando integrações na ordem .

Passo 2

Para calcular o volume, precisamos determinar os limites de integração. Começamos encontrando onde os dois paraboloides se encontram. Igualando as duas equações:

Passo 3

Simplificando a equação:
Isso significa que os paraboloides se intersectam quando , que é um círculo de raio 2 no plano .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de . Para cada ponto dentro do círculo , varia de até .

Passo 5

Em seguida, determinamos os limites para . Para um dado , varia de até .

Passo 6

Finalmente, determinamos os limites para . Como o raio do círculo é 2, varia de -2 até 2.

Passo 7

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:

Passo 8

Resolvendo a integral em :

Passo 9

Integrando em :
Ao calcular as integrais e simplificar, chegamos ao resultado final.

Resposta

O volume da região é .

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