Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]
(e) a_n = e^(1/n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos achar qual é o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência . Aqui, é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828, e está elevada à potência . À medida que cresce, diminui.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Sabemos que:
Isso significa que conforme fica maior, fica cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 4

Com isso, queremos encontrar o limite da sequência quando vai para o infinito. Substituindo o limite que achamos:

Passo 5

Sabemos que qualquer número elevado a zero é 1. Então:

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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