Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]
(j) a_n = e^(2n/(n+2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência e precisa descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no expoente da função exponencial, que é . Nosso objetivo é entender para onde esse termo vai quando cresce sem parar, ou seja, quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos simplificar o termo . Para facilitar a análise, vamos dividir o numerador e o denominador por :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse termo quando tende ao infinito. Sabemos que fica cada vez menor e tende a 0. Então:

Passo 5

Com isso, sabemos que o expoente tende a 2 quando vai para o infinito. Agora, podemos calcular o limite da sequência original usando essa informação:

Resposta

A sequência converge, e o seu limite é .

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