Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência
e precisa descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no expoente da função exponencial, que é
. Nosso objetivo é entender para onde esse termo vai quando
cresce sem parar, ou seja, quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos simplificar o termo
. Para facilitar a análise, vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite desse termo quando
tende ao infinito. Sabemos que
fica cada vez menor e tende a 0. Então:
Passo 5
Com isso, sabemos que o expoente
tende a 2 quando
vai para o infinito. Agora, podemos calcular o limite da sequência original usando essa informação:
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é
.