(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial
.
© Explique o porque o Teorema de Green não pode ser aplicado na questão anterior.
© Explique o porque o Teorema de Green não pode ser aplicado na questão anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente explicar por que o Teorema de Green não dá pra ser usado com o campo vetorial
. A gente vai precisar entender um pouco sobre o Teorema de Green e as condições que ele exige pra funcionar.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema de Green? Basicamente, ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva. Mas tem umas condições: o campo vetorial precisa ser contínuo e ter derivadas parciais contínuas na região e na borda.
Passo 3
Agora, vamos olhar o nosso campo vetorial
. Perceba que o denominador
nunca pode ser zero, porque aí estaríamos dividindo por zero e a função não estaria definida. Isso acontece exatamente no ponto (0,0), ou seja, na origem.
Passo 4
Se pensamos em uma curva fechada que, por exemplo, circunda a origem, a região interna inclui o ponto onde o campo vetorial não está definido. Isso é um problema porque o Teorema de Green exige que o campo seja contínuo em toda a região e na borda. Como temos uma descontinuidade na origem, ele não pode ser aplicado.
Passo 5
Além disso, o campo vetorial dado é similar ao campo de rotação que gera uma singularidade na origem. Essa singularidade faz com que as condições do Teorema de Green não sejam atendidas, impedindo seu uso para calcular integrais nesse caso.
Resposta
O Teorema de Green não pode ser aplicado porque o campo vetorial
não é contínuo na região considerada, já que ele não está definido no ponto (0,0), violando as condições necessárias do teorema.