Decida se as sequencias abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de limites de sequências na matemática, especificamente envolvendo potências e raízes. Para isso, vamos precisar entender como o comportamento de
se comporta quando
cresce para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a sequência de uma forma que fique mais fácil de analisar o limite. Sabemos que
pode ser escrito como
, que é a raiz n-ésima de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece quando
aumenta muito. Quanto maior o
, maior a raiz que estamos tirando de
. Se
, conforme
aumenta, a raiz n-ésima de
tende a se aproximar de 1. Por exemplo:
- Se
, então para qualquer . - Se
, a raiz n-ésima de diminui à medida que aumenta, aproximando-se de 1. - Se
, a raiz n-ésima de aumenta à medida que aumenta, também se aproximando de 1.
Passo 4
Para formalizar, usamos a propriedade dos limites que diz:
Isso acontece porque a potência
tende a zero conforme
vai para o infinito, e qualquer número positivo elevado a zero é 1.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.
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(22)
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(10)
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Encontre o comprimento exato das curvas:
.
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.