Decida se as sequencias abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de limites de sequências na matemática, especificamente envolvendo potências e raízes. Para isso, vamos precisar entender como o comportamento de se comporta quando cresce para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a sequência de uma forma que fique mais fácil de analisar o limite. Sabemos que pode ser escrito como , que é a raiz n-ésima de .

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando aumenta muito. Quanto maior o , maior a raiz que estamos tirando de . Se , conforme aumenta, a raiz n-ésima de tende a se aproximar de 1. Por exemplo:
  • Se , então para qualquer .
  • Se , a raiz n-ésima de diminui à medida que aumenta, aproximando-se de 1.
  • Se , a raiz n-ésima de aumenta à medida que aumenta, também se aproximando de 1.

Passo 4

Para formalizar, usamos a propriedade dos limites que diz:
Isso acontece porque a potência tende a zero conforme vai para o infinito, e qualquer número positivo elevado a zero é 1.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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.
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.