Encontre o comprimento exato das curvas:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento exato da curva definida por no intervalo de até . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre dois pontos e . A fórmula é:
Então, nosso primeiro passo é calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:

Passo 5

Substituímos esse valor na fórmula do comprimento da curva:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Quando , . Quando , .

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

Integrando :
Então,

Passo 9

Calculando os valores:
Então,

Resposta

O comprimento exato da curva é:

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Decida se as sequencias abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]:
(e)
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(22)
Encontre o comprimento exato das curvas:
.
Decida se as sequencias abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]:
(J)