Encontre o comprimento exato das curvas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento exato da curva definida por
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva
entre dois pontos
e
. A fórmula é:
Então, nosso primeiro passo é calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
Passo 5
Substituímos esse valor na fórmula do comprimento da curva:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Quando
,
. Quando
,
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Integrando
:
Então,
Passo 9
Calculando os valores:
Então,
Resposta
O comprimento exato da curva é: