Decida se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{2} 2^{n}}{n!} \]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o Teste da Série Absoluta e o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional.
  • Convergência Absoluta: Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é bom porque, se uma série converge absolutamente, ela também converge de forma condicional.
  • Convergência Condicional: Acontece quando a série converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
Então, nosso primeiro passo é verificar a convergência absoluta da série dada.

Passo 3

Vamos analisar a série dos valores absolutos:
Agora, para verificar se essa série converge, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil para séries com termos que envolvem fatorial ou exponenciais.

Passo 4

O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série:
Simplificando:

Passo 5

Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge.
Isso significa que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados

Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem.
(b)
Analise as alternativas abaixo cm V para verdadeiro e F para falso, justificando suas respostas:
(e) Sabendo-se que a série é convergente, dadá uma outra série cujo termo geral satisfaz à propriedade para todo inteiro natural , podemos afirmar que também é convergente.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
<html><head></head><body><div>A posição de uma partícula em movimento no plano, no tempo <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.025ex;” xmlns=“
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<div>Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração.</div>
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