Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem.
(b) sumn=1^infty n^2+1(n+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série infinita e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de análise de séries, especificamente verificando o comportamento dos termos da série quando cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor o comportamento dos termos. A expressão é:
n^2+1(n+1)^2
Vamos expandir o denominador:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
Então, a expressão fica:
n^2+1n^2 + 2n + 1

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando limn to infty n^2+1n^2 + 2n + 1 tende ao infinito. Isso nos ajudará a entender como os termos se comportam para valores muito grandes de . Calculamos:

Passo 4

Dividimos o numerador e o denominador por limn to infty 1 + 1n^21 + 2n + 1n^2 para simplificar o cálculo do limite:

Passo 5

À medida que 1 + 01 + 0 + 0 = 1 tende ao infinito, os termos e vão para zero. Portanto, o limite simplifica para:

Passo 6

De acordo com o Teste da Divergência, se o limite dos termos gerais de uma série não é zero, a série diverge. Como o limite que encontramos é 1, que é diferente de zero, concluímos que a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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