Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série infinita e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de análise de séries, especificamente verificando o comportamento dos termos da série quando cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor o comportamento dos termos. A expressão é:
Vamos expandir o denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando tende ao infinito. Isso nos ajudará a entender como os termos se comportam para valores muito grandes de . Calculamos:

Passo 4

Dividimos o numerador e o denominador por para simplificar o cálculo do limite:

Passo 5

À medida que tende ao infinito, os termos e vão para zero. Portanto, o limite simplifica para:

Passo 6

De acordo com o Teste da Divergência, se o limite dos termos gerais de uma série não é zero, a série diverge. Como o limite que encontramos é 1, que é diferente de zero, concluímos que a série não converge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Analise as alternativas abaixo cm V para verdadeiro e F para falso, justificando suas respostas:
(e) Sabendo-se que a série é convergente, dadá uma outra série cujo termo geral satisfaz à propriedade para todo inteiro natural , podemos afirmar que também é convergente.
Analise as alternativas abaixo cm V para verdadeiro e F para falso, justificando suas respostas:
(d) Se converge, então também converge.
Decida se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série