Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série infinita
e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de análise de séries, especificamente verificando o comportamento dos termos da série quando
cresce sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor o comportamento dos termos. A expressão é:
Vamos expandir o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito. Isso nos ajudará a entender como os termos se comportam para valores muito grandes de
. Calculamos:
Passo 4
Dividimos o numerador e o denominador por
para simplificar o cálculo do limite:
Passo 5
À medida que
tende ao infinito, os termos
e
vão para zero. Portanto, o limite simplifica para:
Passo 6
De acordo com o Teste da Divergência, se o limite dos termos gerais de uma série não é zero, a série diverge. Como o limite que encontramos é 1, que é diferente de zero, concluímos que a série não converge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Analise as alternativas abaixo cm V para verdadeiro e F para falso, justificando suas respostas:
(e) Sabendo-se que a série é convergente, dadá uma outra série
cujo termo geral satisfaz à propriedade
para todo inteiro natural
, podemos afirmar que
também é convergente.
(e) Sabendo-se que a série
Analise as alternativas abaixo cm V para verdadeiro e F para falso, justificando suas respostas:
(d) Se converge, então
também converge.
(d) Se
Decida se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série