Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, que é um tópico importante no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como aplicar o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , o raio de convergência pode ser encontrado usando o limite:
No nosso caso, .
Passo 3
Vamos calcular o limite necessário:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro do limite:
Passo 5
Agora, vamos dividir numerador e denominador por :
Quando tende ao infinito, tende a 0. Então:
Passo 6
Então, temos que:
Passo 7
Agora que temos o raio de convergência , o intervalo de convergência é dado por . Para encontrar exatamente o intervalo, precisaríamos verificar a convergência nos pontos e , mas isso vai além do que foi pedido.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .