Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, que é um tópico importante no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , o raio de convergência pode ser encontrado usando o limite:
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos calcular o limite necessário:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do limite:

Passo 5

Agora, vamos dividir numerador e denominador por :
Quando tende ao infinito, tende a 0. Então:

Passo 6

Então, temos que:

Passo 7

Agora que temos o raio de convergência , o intervalo de convergência é dado por . Para encontrar exatamente o intervalo, precisaríamos verificar a convergência nos pontos e , mas isso vai além do que foi pedido.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: .
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Prove que: Se e , então .