Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série: , onde . O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série alternada tem termos que mudam de sinal, como essa aqui com . Para verificar a convergência condicional, podemos usar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que diz que se os termos são positivos, decrescem e tendem a zero, então a série converge.
Vamos verificar essas condições:
  1. Positivos: para todo e .
  2. Decrescem: À medida que aumenta, diminui porque o denominador fica maior.
  3. Tendem a zero: .
Como todas as condições são satisfeitas, pela regra de séries alternadas, a série converge condicionalmente.

Passo 3

Agora, para verificar a convergência absoluta, a gente olha para a série dos valores absolutos dos termos: . Essa é uma série p, que sabemos que converge se e diverge se .
Então:
  • Se , a série dos valores absolutos converge, o que significa que a série original converge absolutamente.
  • Se , a série dos valores absolutos diverge, mas lembrando que já vimos que a série original converge condicionalmente.

Resposta

A série converge absolutamente para e converge condicionalmente para .

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Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: .
Determine, uma primitiva para as funções abaixo:
  • b) ;
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .