Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série: , onde . O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série alternada tem termos que mudam de sinal, como essa aqui com . Para verificar a convergência condicional, podemos usar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que diz que se os termos são positivos, decrescem e tendem a zero, então a série converge.
Vamos verificar essas condições:
Positivos: para todo e .
Decrescem: À medida que aumenta, diminui porque o denominador fica maior.
Tendem a zero: .
Como todas as condições são satisfeitas, pela regra de séries alternadas, a série converge condicionalmente.
Passo 3
Agora, para verificar a convergência absoluta, a gente olha para a série dos valores absolutos dos termos: . Essa é uma série p, que sabemos que converge se e diverge se .
Então:
Se , a série dos valores absolutos converge, o que significa que a série original converge absolutamente.
Se , a série dos valores absolutos diverge, mas lembrando que já vimos que a série original converge condicionalmente.
Resposta
A série converge absolutamente para e converge condicionalmente para .