Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
Isso envolve conceitos de séries de potências e convergência, então vamos precisar usar alguns testes de convergência para determinar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto o valor de faz com que a série converja. Para encontrar esse raio, podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é muito útil para séries de potências.

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre termos sucessivos da série quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, diverge. Se for igual a 1, o teste não dá informação e precisamos usar outro método.
Vamos aplicar isso à série:
Então, calculamos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular esse limite:
Então, temos:
Para que a série convirja, precisamos que esse limite seja menor que 1:
Isso significa que o raio de convergência é 1.

Passo 5

Com o raio de convergência determinado, o próximo passo é achar o intervalo de convergência. Sabemos que , então inicialmente o intervalo é:
Agora, precisamos verificar se a série converge nos pontos extremos e .
  • Para :
Essa série é convergente porque é uma série telescópica.
  • Para :
Essa é uma série alternada e também converge pela Alternância de Sinal e pelo fato de que é decrescente e tende a zero.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de converg��ncia é .

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Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: .
Use a definição de limite infinito para mostrar que: .
Mostre que: .