Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum 1n(n+1) x^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
sum 1n(n+1) x^n
Isso envolve conceitos de séries de potências e convergência, então vamos precisar usar alguns testes de convergência para determinar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto o valor de faz com que a série converja. Para encontrar esse raio, podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é muito útil para séries de potências.

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre termos sucessivos da série quando an = 1n(n+1) x^n tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, diverge. Se for igual a 1, o teste não dá informação e precisamos usar outro método.
Vamos aplicar isso à série:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | 1(n+1)(n+2) x^n+11n(n+1) x^n |
Então, calculamos:
Simplificando:
= limn to infty | n(n+1)(n+1)(n+2) x | = limn to infty | nn+2 x |

Passo 4

Agora, vamos calcular esse limite:
limn to infty nn+2 = 1
Então, temos:
limn to infty | nn+2 x | = |x|
Para que a série convirja, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|x| < 1
Isso significa que o raio de convergência é 1.

Passo 5

Com o raio de convergência determinado, o próximo passo é achar o intervalo de convergência. Sabemos que -1 < x < 1 , então inicialmente o intervalo é:
sum 1n(n+1) (1)^n = sum 1n(n+1)
Agora, precisamos verificar se a série converge nos pontos extremos sum 1n(n+1) (-1)^n e .
  • Para :
Essa série é convergente porque é uma série telescópica.
  • Para :
Essa é uma série alternada e também converge pela Alternância de Sinal e pelo fato de que é decrescente e tende a zero.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de converg��ncia é .

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