Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
Isso envolve conceitos de séries de potências e convergência, então vamos precisar usar alguns testes de convergência para determinar esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto o valor de faz com que a série converja. Para encontrar esse raio, podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é muito útil para séries de potências.
Passo 3
O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre termos sucessivos da série quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, diverge. Se for igual a 1, o teste não dá informação e precisamos usar outro método.
Vamos aplicar isso à série:
Então, calculamos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular esse limite:
Então, temos:
Para que a série convirja, precisamos que esse limite seja menor que 1:
Isso significa que o raio de convergência é 1.
Passo 5
Com o raio de convergência determinado, o próximo passo é achar o intervalo de convergência. Sabemos que , então inicialmente o intervalo é:
Agora, precisamos verificar se a série converge nos pontos extremos e .
Para :
Essa série é convergente porque é uma série telescópica.
Para :
Essa é uma série alternada e também converge pela Alternância de Sinal e pelo fato de que é decrescente e tende a zero.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de converg��ncia é .